Isomorphismen Aut V4 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
| Aufgabe | | Zu welcher Gruppe ist Aut V4 isomoprh |
Zur Beantwortung der o.g. Fragestellung habe ich erstmal die Automorphismen von V4 rausgesucht. Ich komme da auf 6 Stück. (Macht Sinn, da es neben dem neutralen Element 3 selbstinverse Elemente gibt)
Mir sind jedoch zwei Gruppen der Ordnung 6 bekannt:
Z6 (zu der jede abelsche Gruppe der Ordnung 6 isomoph ist.)
S3 (zu der jede nicht abelsche Gruppe der Ordnung 6 isomoph ist.)
Ich müsste nun wissen, ob Aut V4 abelsch ist oder nicht. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich daran gehen soll. Kann mir da einer helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu welcher Gruppe ist Aut V4 isomoprh
> Zur Beantwortung der o.g. Fragestellung habe ich erstmal
> die Automorphismen von V4 rausgesucht. Ich komme da auf 6
> Stück. (Macht Sinn, da es neben dem neutralen Element 3
> selbstinverse Elemente gibt)
>
> Mir sind jedoch zwei Gruppen der Ordnung 6 bekannt:
> Z6 (zu der jede abelsche Gruppe der Ordnung 6 isomoph ist.)
> S3 (zu der jede nicht abelsche Gruppe der Ordnung 6 isomoph
> ist.)
>
> Ich müsste nun wissen, ob Aut V4 abelsch ist oder nicht.
> Ich habe leider keine Ahnung, wie ich daran gehen soll.
> Kann mir da einer helfen?
Na, du hast doch die sechs Automorphismen bestimmt. Warum testest du nicht, ob die jeweils miteinander kommutieren?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
Hab ich jetzt mit ner Verknüpfungstafel gemacht. Dieser zufolge ist Aut V4 abelsch und somit Isomoph zu Z6 aber nicht zu S3.
Vielen Dank für den Tipp Herr Doktor!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hab ich jetzt mit ner Verknüpfungstafel gemacht. Dieser
> zufolge ist Aut V4 abelsch und somit Isomoph zu Z6 aber
> nicht zu S3.
Bist du dir da ganz sicher? Ich hab da etwas Zweifel :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Di 22.02.2011 | | Autor: | wieschoo |
gibt es da eine Lösung ohne zu rechnen? Oder weiß man soetwas? Ich müsste auch nach einen eventuellen Gegenbeispiel suchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> gibt es da eine Lösung ohne zu rechnen? Oder weiß man
> soetwas? Ich müsste auch nach einen eventuellen
> Gegenbeispiel suchen.
Wenn [mm] $V_4 [/mm] = [mm] \{ 1, a, b, c \}$ [/mm] ist, dann kannst du die Abbildung [mm] $\Phi [/mm] : [mm] S_3 \to Bij(V_4, V_4)$ [/mm] der Bijektionen [mm] $V_4 \to V_4$ [/mm] anschauen, die ein [mm] $\sigma \in S_3$ [/mm] auf [mm] $\varphi_\sigma$ [/mm] mit [mm] $\varphi_\sigma(1) [/mm] = 1$ und [mm] $\varphi_\sigma(x) [/mm] = [mm] \sigma(x)$ [/mm] abbildet fuer $x [mm] \in \{ a, b, c \}$ [/mm] (hier ist [mm] $S_3$ [/mm] die Gruppe der Permutationen von [mm] $\{ a, b, c \}$).
[/mm]
Jetzt muss man sich nur noch ueberlegen, dass jedes [mm] $\varphi_\sigma$ [/mm] ein Automorphismus ist, da [mm] $Aut(V_4)$ [/mm] definitiv eine Teilmenge des Bildes von [mm] $\Phi$ [/mm] ist. Damit hat man dann einen Isomorphismus [mm] $S_3 \cong Aut(V_4)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
öh-wenn du schon so fragst bin ich mir nicht mehr so sicher.
Ein Beispiel für mein Vorgehen.
Die Abbildung 5 ist folgedermaßen definiert
1 - 1
a - ab
b - a
ab - b
6 ist folgedermaßen definiert
1- 1
a - ab
b - b
ab - a
5 verkettet mit 6
1 - 1
ab - ab
a - b
b - a
6 verkettet mit 5
1 - 1
ab - ab
b -a
a -b
Also ist 6 verkettet mit 5 das gleiche wie 5 mit 6. In einer verknüpfungstafel sieht das dann abelsch aus. Wo liegt der Fehler? Hab ich die Verkettung falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
Ah, ich glaub, ich weiß wo der Fehler steckt. Ich hab bei der Verkettung Mist gebaut. (Innere und Äußere .... )
Die Abbildung 5 ist folgedermaßen definiert
1 - 1
a - ab
b - a
ab - b
6 ist folgedermaßen definiert
1- 1
a - ab
b - b
ab - a
5 verkettet mit 6
1 - 1
a - a
b - ab
ab - b
6 verkettet mit 5
1 - 1
a - b
b - a
ab - ab
Damit sind 6 verkettet mit 5 und 6 verkettet mit 5 nicht gleich, die Gruppe nicht abelsch (andere Fälle wären noch zu prüfen) und Aut V4 isom. zu S3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> öh-wenn du schon so fragst bin ich mir nicht mehr so
> sicher.
> Ein Beispiel für mein Vorgehen.
>
> Die Abbildung 5 ist folgedermaßen definiert
> 1 - 1
> a - ab
> b - a
> ab - b
>
> 6 ist folgedermaßen definiert
> 1- 1
> a - ab
> b - b
> ab - a
>
> 5 verkettet mit 6
> 1 - 1
> ab - ab
> a - b
> b - a
>
> 6 verkettet mit 5
> 1 - 1
Soweit ok, aber:
> ab - ab
5 bildet $ab$ auf $b$ ab, und 6 $b$ dann auf $a$. Also bildet 6 verkettet mit 5 das Element $ab$ auf $a$ ab und nicht auf $ab$.
Und selbst wenn sie kommutieren: du hast hier nur zwei spezielle Automorphismen getestet. Du musst schon alle miteinander probieren um zu zeigen, dass es kommutativ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Di 22.02.2011 | | Autor: | ehade |
> Die Abbildung 5 ist folgedermaßen definiert
> 1 - 1
> a - ab
> b - a
> ab - b
>
> 6 ist folgedermaßen definiert
> 1- 1
> a - ab
> b - b
> ab - a
Moment ich glaube hier liegt ein kleines Verständisproblem vor. Bei 6 verkettet mit 5 gehe ich bei ab - ? folgendermaßen vor.
ab wird in 6 auf a abgebildet und a wird in 5 auf ab
Bei der Verkettung von 6 auf 5 komme ich auf ab - b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mi 23.02.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > Die Abbildung 5 ist folgedermaßen definiert
> > 1 - 1
> > a - ab
> > b - a
> > ab - b
> >
> > 6 ist folgedermaßen definiert
> > 1- 1
> > a - ab
> > b - b
> > ab - a
>
> Moment ich glaube hier liegt ein kleines Verständisproblem
> vor. Bei 6 verkettet mit 5 gehe ich bei ab - ?
> folgendermaßen vor.
> ab wird in 6 auf a abgebildet und a wird in 5 auf ab
>
> Bei der Verkettung von 6 auf 5 komme ich auf ab - b
Das ist kein Verständnisproblem, weil das Wort 'verketten' in diesem Zusammenhang nicht verständlich ist, mathematisch gesprochen: Es ist nicht eindeutig definiert (und damit gar nicht).
In Schriftform ist man sich heute in der Nach-Bourbaki-Zeit einig, daß f [mm] \circ [/mm] g bedeuten soll: erst g, dann f. Ich lese das auch 'f Kringel g' und schreibe es meistens von links nach rechts, aber ich kenne Leute, die schreiben das an der Tafel von rechts nach links.
Wenn du in ein altes Buch kuckst, van der Waerden z. B., wirst du andere Interpretationen finden. vdW schreibt die Abbildung rechts vom abzubildenden Objekt, also xf statt f(x), und dann ist es konsequent, mit fg 'erst f und dann g' zu meinen.
Die Lehre daraus ist, daß es schon wichtig ist, in der Fachsprache zu bleiben. Da die aber auch einem gewissen Wandel unterliegt, müßte man konsequenterweise vor jeder Äußerung hier mitteilen, an welchem Autor oder welchem Buch man sich orientiert. Bei mir kann man das, so man will, der Signatur entnehmen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Do 24.02.2011 | | Autor: | Tagesschau |
Hallo,
betrachte doch mal die [mm] V_{4} [/mm] als [mm] \IF_{2}^{2}. [/mm] Dann sind die Automorphismen nur die Matrizengruppe [mm] Gl_{2}(\IF_{2}). [/mm] Diese Gruppe ist selbstverständlich nicht kommutativ.
Viele Grüße,
Tagesschau
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