Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 08.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Se [mm]V=\IQ[X]/(X^2+5X+6)\IQ[X][/mm] und [mm]\phi:V \to \IQ \oplus \IQ, [p(X)] \mapsto (p(-2),p(-3))[/mm]. Beweisen Sie:
Es definiert [mm]\phi[/mm] einen Isomorphismus von [mm]\IQ[/mm]-Vektorräumen. |
Und noch eine Frage, hatte aber mit dem anderen nichts zu tun, deshalb, hier nochmal was neues. Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann muss ich doch hierbei zeigen, dass [mm]\phi[/mm] bijektiv und linear ist?! Also linear ist gar kein Problem und injektiv habe ich auch hinbekommen, aber wie geht das mit surjektiv. Also ich muss ja doch zeigen, dass [mm]\phi(V) = \IQ \oplus \IQ[/mm], aber wie mache ich das?!
LG
Elbi
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Hallo und guten Morgen,
Du könntest zB zeigen, dass beide [mm] \IQ-Vektorräume [/mm] gleiche endliche Dimension haben (nämlich 2), dann folgt aus der Injektivität und
Linearität schon die Surjektivität.
Zu zeigen wäre also
[mm] dim_{\IQ}(\IQ[X]\slash (X^2+5X+6)\IQ[X])\:\: =\:\: [/mm] 2
Versuch doch mal, eine Basis zu konstruieren.
Viele Grüße,
Mathias
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