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| Aufgabe | | Sind [mm] \IZ/n^{2}\IZ [/mm] und [mm] \IZ/n\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ [/mm] isomorph? |
Guten Morgen!
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und finde einfach keinen Einstieg...
Nun vielleicht könnt ihr mir ja einen kleinen tipp geben...
Ich brauche einen bijektiven Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen.. nun dachte ich einmal daran, wie ich die Elemente zuordnen würde (wie die Abbildung auszusehen hat..)
Nur irgendwie klappt das auch nicht so..
Meine Vermutung ist, dass sie nicht isomorph sind -> kann man da etwas widerlegen, evt mit einem Kern, der grösser ist als {0}?
Wie gesagt bin ich etwas am Anschlag..Wäre sehr froh um den einen oder anderen Tipp! vielen lieben Dank!!
Ersti
p.s. Habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet
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> Sind [mm]\IZ/n^{2}\IZ[/mm] und [mm]\IZ/n\IZ[/mm] x [mm]\IZ/n\IZ[/mm] isomorph?
> Guten Morgen!
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und finde einfach
> keinen Einstieg...
Hallo,
als kleinen Einstieg könntest Du ja mal [mm] \IZ/4\IZ [/mm] mit [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] vergleichen, insbesondere auch die Ordnungen der Elemente.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank erstmal für die promte Antwort!
Trotzdem will es noch nicht so ganz :s
Also zuerst zu [mm] \IZ/4\IZ:
[/mm]
Die Gruppe hat 4 Klassen -> also ordnung 4
Die Klassen haben jedoch unendlich viele Elemente (alle Vielfachen..) -> also ist die Ordnung der Elemente unendlich.
Dann für [mm] \IZ/2\IZ [/mm] ist es ähnlich:
Die Gruppe hat 2 Klassen -> Ordnung 2
Und auch hier haben die Elemente (Klassen) die ordnung unendlich..
Daraus würde ich schliessen, dass es durchaus möglich ist einen Isomorphismus zwischen den Gruppen zu bilden, nicht?
Leider bin ich noch etwas verwirrt mit den Klassen und den Elementen..
Ich muss die Klassen zuordnen (z.B. Klasse 0 wird auf Klasse (0,1) abgebildet?) oder?
Dann habe ich mein urteil revidiert und gehe jetzt stark davon aus, dass die Gruppen isomorph sind.. =)
Bin ich da auf dem Holzweg? Vielen lieben dank für deine Mühe!!
lg Ersti
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> Vielen Dank erstmal für die promte Antwort!
> Trotzdem will es noch nicht so ganz :s
Hallo,
das liegt daran, daß bei Dir einiges durcheinander purzelt - oder war es womöglich noch nicht dran?
> Also zuerst zu [mm]\IZ/4\IZ:[/mm]
> Die Gruppe hat 4 Klassen -> also ordnung 4
Ordnung einer Gruppe: Anzahl der Elemente in einer Gruppe.
Wenn die Ordnung nicht übereinstimmt, können die Gruppen nicht isomorph sein.
Aber diesbezüglich hast Du Glück:
In [mm] \IZ/4\IZ [/mm] sind die 4 Restklassen modulo 4, [mm] \IZ/4\IZ=\{\overline{0}_4, \overline{1}_4, \overline{2}_4, \overline{3}_4\}.
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ [/mm] enthält die beiden Restklassen modulo 2, und somit besteht [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] aus sämtlichen geordneten Paaren derselben:
[mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ=\{(\overline{0}_2,\overline{0}_2), (\overline{0}_2,\overline{1}_2), (\overline{1}_2,\overline{0}_2), (\overline{1}_2,\overline{1}_2)\}. [/mm] Also auch 4 Elemente.
> Die Klassen haben jedoch unendlich viele Elemente (alle
> Vielfachen..) -> also ist die Ordnung der Elemente
> unendlich.
Oh nein! Die Ordnung eines Elementes ist etwas völlig anderes!
Nämlich: wie oft muß man mindestens (!) das Element mit sich selbst verknüpfen, um das neutrale Element zu bekommen.
In [mm] \IZ/4\IZ [/mm] ist die Ordnung von [mm] \overline{1}_4 [/mm] vier, denn [mm] \overline{1}_4+\overline{1}_4=\overline{2}_4\not=\overline{0}_4,
[/mm]
[mm] \overline{1}_4+\overline{1}_4+\overline{1}_4=\overline{31}_4\not=\overline{0}_4, \overline{1}_4+\overline{1}_4+\overline{1}_4+\overline{1}_4=\overline{4}_4=\overline{0}_4. [/mm] Also ist die Ordnung von [mm] \overline{1}_4 [/mm] 4.
Du solltest nun die Ordnung für die anderen Elemente beider Gruppen herausfinden.
Du wirst sehen, daß es nicht anders geht, als mit einem Homomorphismus [mm] \varphi:\IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] das Element [mm] \overline{1}_4 [/mm] auf ein Element kleinerer Ordnung abzubilden.
Und nun mußt Du über den Kern nachdenken...
Gruß v. Angela
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Ui, ja danke, da habe ich wohl einiges vermischt..
Irgendwie wurde das in der Vorlesung ziemlich rasch abgehandelt, war mir bis jetzt noch nicht bewusst.. Danke!! =)
Also habe ich folgendes:
Bei [mm] \IZ/4\IZ [/mm] hat 0 Ord1, 1 Ord4, 2 Ord2 und 3 Ord4
Bei [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] hat (0,0) Ord 1, (0,1) Ord 2, (1,0) Ord 2 und (1,1) Ord 2
Also ist klar, dass z.B 1 auf ein Element mit einer kleineren Ordnung abgebildet werden muss. Gilt nun, dass die Abbildung nicht isomporph ist, weil die Ordnung nicht übereinstimmt? -> kann ja demnach nicht injektiv sein => nicht bijektiv..
Vielen lieben Dank für den Einsatz!!
Ersti
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> Also ist klar, dass z.B 1 auf ein Element mit einer
> kleineren Ordnung abgebildet werden muss.
Hallo,
genau.
Auf (0,0) wird man natürlich nicht abbilden, da wäre man ja schön dumm, denn dann sieht man sofort, daß der [mm] Kern\not=0 [/mm] ist.
Also muß man auf ein Element der Ordnung 2 abbilden, was anderes hat man dann ja nicht mehr zur Auswahl.
> Gilt nun, dass
> die Abbildung nicht isomporph ist, weil die Ordnung nicht
> übereinstimmt? -> kann ja demnach nicht injektiv sein =>
> nicht bijektiv..
Ja, so gilt das. Wenn es in der Vorlesung noch nicht gezeigt wurde, kannst Du es natürlich nicht verwenden, sondern mußt das selber machen.
In unserem Beispiel mit n=2: Sei [mm] (a,b)\in \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] mit Ordnung 2 und sein [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus mit [mm] \phi [/mm] (1)=(a,b)
Dann ist [mm] ...=(a,b)+(a,b)=\phi (1)+\phi [/mm] (1)=... ==> ????
In Deiner Aufgabe sollst Du ja für n agen, ob sie isomorph sind. Wir haben das bisher nur für n=2 getan.
Aber das Prinzip bleibt gleich: [mm] \IZ/n^2\IZ [/mm] ist zyklisch und enthält ein Element der Ordnung [mm] n^2. [/mm] Die Elemente in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ [/mm] haben höchstens die Ordnung n, deshalb klappt das mitdem Isomorphismus nicht, was Du so zeigen kannst wie für den Fall n=2.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Fr 05.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Also habe ich folgendes:
> Bei [mm]\IZ/4\IZ[/mm] hat 0 Ord1, 1 Ord4, 2 Ord2 und 3 Ord4
> Bei [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] hat (0,0) Ord 1, (0,1) Ord 2,
> (1,0) Ord 2 und (1,1) Ord 2
>
> Also ist klar, dass z.B 1 auf ein Element mit einer
> kleineren Ordnung abgebildet werden muss. Gilt nun, dass
> die Abbildung nicht isomporph ist, weil die Ordnung nicht
> übereinstimmt?
Du wolltest sicher sagen, daß die GRUPPEN nicht isomorph sind?!
So ist es tatsächlich. Ein Isomorphismus zwischen Gruppen muß das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutrale der anderen Gruppe abbilden. Das folgt aus der Definition des Isomorphismus. Schau sie dir noch einmal an und versuche, das formal in einer Zeile zu zeigen.
Sei nun n die Ordnung von a in der Gruppe G und m die Ordnung von [mm] $\phi(a)$ [/mm] in der Gruppe H, wobei [mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H$ ein Isomorphismus sei, [mm] $e_G$ [/mm] das neutrale Element in G, [mm] $e_H$ [/mm] das neutrale Element in H, .
Dann ist
[mm] $e_H [/mm] = [mm] \phi(e_G) [/mm] = [mm] \phi(a^n) [/mm] = [mm] \phi(a)^n$
[/mm]
also muß n ein Vielfaches von m sein.
Wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein isomorphismus ist, dann ist er auch invertierbar und nun kannst du umgekehrt auf gleiche Weise zeigen, daß m ein Vielfaches von n sein muß.
Also folgt n = m.
Ein Isomorphismus muß also stets Elemente gleicher Ordnung aufeinander abbilden. Das geht in deiner Aufgabe offenbar nicht.
Ich weiß, daß diese Überlegungen etwas mehr sind, als du brauchst. Aber wenn du sie trotzdem nachvollziehst, wird dir das beim verständnis der Zusammenhänge ganz sicher sehr hilfreich sein.
Gute N8,
will
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