Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein k-Vektorraum, und p : V → V ein Projektor, d.h.
eine lineare Abbildung, für die p² = p gilt. Zeigen Sie, dass ein Isomorphismus
V [mm] \cong [/mm] ker p [mm] \oplus [/mm] Im p
existiert. |
Hallo!
Ich verstehe hier die Aufgabenstellung nicht wirklich. Ein Isomorphismus ist ja eine bijektive Abbildung(also z.B der Logarithmus). Was genau soll hier mein Isomorphismus sein? Und was bedeutet überhaupt der Ausdruck:
V [mm] \cong [/mm] ker p [mm] \oplus [/mm] Im p ?
Kann mir jemand Hilfestellung leisten?!
Vielen dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei V ein k-Vektorraum, und p : V → V ein Projektor,
> d.h.
> eine lineare Abbildung, für die p² = p gilt. Zeigen Sie,
> dass ein Isomorphismus
> V [mm]\cong[/mm] ker p [mm]\oplus[/mm] Im p
> existiert.
> Hallo!
>
> Ich verstehe hier die Aufgabenstellung nicht wirklich. Ein
> Isomorphismus ist ja eine bijektive Abbildung(also z.B der
> Logarithmus).
Hallo,
ein Vektorraumisomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.
Wenn Du eine Funktion ins Spiel bringst, ist immer wichtig, welches der Definitions- und Zielbereich sein sollen. Ohne diese Angabe ist das Reden über Bijektivität sinnlos.
Linear ist der Logarithmus auch nicht.
> Was genau soll hier mein Isomorphismus sein?
das sollst Du ja eigentlich erst herausfinden.
Hier verbirgt sich hinter dem Isomorphismus die Gleichheit.
Man kann zeigen, daß V [mm]=[/mm] ker p [mm]\oplus[/mm] Im p.
> Und was bedeutet überhaupt der Ausdruck:
> V [mm]\cong[/mm] ker p [mm]\oplus[/mm] Im p ?
Er bedeutet, daß V isomorph ist zu ker p [mm]\oplus[/mm] Im p.
[mm] \oplus [/mm] ist die direkte Summe, weißt Du, was das ist? Wenn nicht: nachlesen.
>
> Kann mir jemand Hilfestellung leisten?!
Zeige, daß Du jedes Element aus [mm] v\in [/mm] V schreiben kannst als v=b+k mit [mm] b\in [/mm] Im p und [mm] k\in [/mm] ker p.
Zeige anschließend, daß der Schnitt von Bild und kern nur die Null enthält.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo :)
Zu Zeigen: kern f [mm] \cap [/mm] Im f = 0
Beweis: Sei v [mm] \in [/mm] V
dann gilt f(v)=0 und es gibt ein w [mm] \in [/mm] V mit v=f(w)
Also gilt: 0=f(v)=f(f(w)) mit w [mm] \in [/mm] Kern(f)
Also v=f(w)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] Kern f [mm] \cap [/mm] Im f = {0}
Zu Zeigen: V [mm] \subseteq [/mm] kern f [mm] \oplus [/mm] im f
DAfür zu Zeigen: v=b+k mit b [mm] \in [/mm] Im p und k [mm] \in [/mm] kern p
Beweis: f(b+k)=f(b)+f(k)=f(b) [mm] \in [/mm] V
[mm] \Rightarrow [/mm] kern f [mm] \oplus [/mm] im f
Stimmt das? Und wie zeige ich jetzt die Umkehrung kern f [mm] \oplus [/mm] Im f [mm] \supseteq \supseteq [/mm] ?
Danke und lg :)
|
|
|
| |
|
> Hallo :)
>
> Zu Zeigen: kern f [mm]\cap[/mm] Im f = 0
> Beweis: Sei v [mm]\in[/mm] V
Hallo,
wirklich aus V? (Und warum f?)
> dann gilt f(v)=0 und es gibt ein w [mm]\in[/mm] V mit v=f(w)
> Also gilt: 0=f(v)=f(f(w)) mit w [mm]\in[/mm] Kern(f)
Wieso [mm] w\in [/mm] Kern f?
> Also v=f(w)=0
Ja.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Kern f [mm]\cap[/mm] Im f = {0}
richtig.
>
> Zu Zeigen: V [mm]\subseteq[/mm] kern f [mm]\oplus[/mm] im f
> DAfür zu Zeigen: v=b+k mit b [mm]\in[/mm] Im p und k [mm]\in[/mm] kern p
> Beweis: f(b+k)=f(b)+f(k)=f(b) [mm]\in[/mm] V
> [mm]\Rightarrow[/mm] kern f [mm]\oplus[/mm] im f
>
> Stimmt das?
Hast Du das Gefühl, das Richtige gezeigt zu haben?
Du mußt ja zeigen, wie Du jedes beliebige v so in eine Summe zerlegst, daß der eine Summand im Bild und der andere im Kern ist, denn Du willst ja zeigen, daß [mm] V\subseteq [/mm] Kern + Bild. Frickel mal ein bißchen.
Und wie zeige ich jetzt die Umkehrung kern f
> [mm]\oplus[/mm] Im f [mm]\supseteq \supseteq[/mm] ?
Na, dazu, warum bei einer Abbildung [mm] V\to [/mm] V Bild +Kern [mm] \subseteq [/mm] V ist, wird Dir ja vielleicht was einfallen.
Gruß v. Angela
> Danke und lg :)
|
|
|
| |
|
Also ich hab jetzt ein bisschen probiert:) :
Zu Zeigen:
1) ker p [mm] \cap [/mm] Im p={0}
2)ker p [mm] \oplus [/mm] Im p [mm] \subseteq [/mm] V
3)ker p [mm] \oplus [/mm] Im p [mm] \supseteq [/mm] V
[mm] \Rightarrow [/mm] Dann gilt Isomorphismus.
Beweis:
1)Bereits gezeigt
2) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V gibt es eine Darstellung: v=b+k mit b [mm] \in [/mm] Kern p und k [mm] \in [/mm] Im p
p(b+k)=p(b)+p(k) ,da lin. Abb additiv ist
p(b)+p(k)=dim V ; wegen Dimensionsformel
und dim V [mm] \in [/mm] V
Also gilt:
ker p [mm] \oplus [/mm] Im p [mm] \subseteq [/mm] V
3) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: v=ker p+im p
Es gilt:
dim Im p + dim Ker p
=dim V (Dimensionsformel für lin.Abb)
=dim(Ker p + Im p)
Also: ker p [mm] \oplus [/mm] Im p [mm] \supseteq [/mm] V
Also existiert der Isomorphismus.
Kann man das so machen? Jetzt habe ich nicht einmal die Bedingung p²=p angewendet?!
Lg und danke schonmal ;)
|
|
|
| |
|
> Also ich hab jetzt ein bisschen probiert:) :
Hallo,
das ist ganz verdächtig und bei Übungsaufgaben i.d.R. ein Hinweis darauf, daß etwas grundverkehrt gelaufen ist.
Allerdings hattest Du immerhin beim Beweis von 1) diese Voraussetzung verwendet.
> Zu Zeigen:
> 1) ker p [mm]\cap[/mm] Im p={0}
> 2)ker p [mm]\oplus[/mm] Im p [mm]\subseteq[/mm] V
> 3)ker p [mm]\oplus[/mm] Im p [mm]\supseteq[/mm] V
> [mm]\Rightarrow[/mm] Dann gilt Isomorphismus.
> Beweis:
> 1)Bereits gezeigt
Wenn die beanstandeten Details geradegerückt wurden: ja.
> 2) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V gibt es eine Darstellung: v=b+k mit b
> [mm]\in[/mm] Kern p und k [mm]\in[/mm] Im p
Das weißt Du doch gar nicht. Das wäre ja in 3) erst zu zeigen.
Hier ist folgendes zu zeigen: [mm] x\in [/mm] ker p [mm]\oplus[/mm] Im p ==> [mm] x\in [/mm] V
Sei [mm] x\in [/mm] ker p [mm]\oplus[/mm] Im .
dann gibt es
> eine Darstellung: v x=b+k mit b [mm]\in[/mm] Kern p und k [mm]\in[/mm] Im p
Es sind doch im p und kern p Teilmengen von V.
Wodrin liegen also b und k? Und die Summe?
> p(b)+p(k)=dim V ; wegen Dimensionsformel
Was fürn Quatsch! Wie kann denn die Summe von Vektoren 'ne Dimension sein...
> und dim V [mm]\in[/mm] V
[mm] Unfug^3. [/mm] V enthält Vektoren und keine Dimensionen.
Ich frage mich und Dich: sind Dir die Begriffe Basis, Dimension, Bild und Kern überhaupt klar?
Das was Du schreibst, erweckt den Eindruck des Gegenteils, ich weiß allerdings auch, daß es manchmal Zustände zeitlich begrenzter Wirrnis gibt. Letzterer Fall wäre nicht so tragisch, gegen ersteren müßtest Du ganz massiv etwas unternehmen, wenn Du weiter die Vorlesung hören willst.
> Also gilt:
> ker p [mm]\oplus[/mm] Im p [mm]\subseteq[/mm] V
Ja. das konnte man den Ausführungen aber nicht entnehmen.
>
> 3) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: v=ker p+im p
Das wäre zu zeigen.
> Es gilt:
> dim Im p + dim Ker p=dim V (Dimensionsformel für lin.Abb)
Ja.
> =dim(Ker p + Im p)
Wieso? Wir wissen doch gar nicht, daß Ker p + Im p=V ist. Es soll doch die eine Inklusion gerade gezeigt werden.
Nochmal: in dieser Aufgabe kommt es darauf an, daß Du angibst, auf welche Weise man jedes [mm] v\in [/mm] V in eine Summe aus Bild und Kern zerlegen kannst.
Darüber mußt Du nach wie vor nachdenken.
---
Mal eine kurze Unterbrechung: es geht ja hier um einen Vektorraumendomorphismus mit der sehr speziellen Eigenschaft [mm] p^2=p.
[/mm]
Kennst Du Beispiele für solche Endomorphismen? Das p steht hier nicht ganz zufällig, denn es handelt sich um Projektionen.
Ich mache jetzt mal ein Beispiel für solch eine Projektion.
[mm] p:\IR^3\to \IR^3
[/mm]
[mm] p(\vektor{x\\y\\z})=\vektor{x-z\\y-z\\0}
[/mm]
Überzeuge Dich, daß [mm] p^2=p [/mm] ist.
Bestimme Bild und Kern.
Schau nach, ob deren Summe direkt ist und den kompletten [mm] \IR^3 [/mm] ergibt.
Überlege Dir, wie Du [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] also Summe jeweils eines Vektors aus dem Bild und dem Kern schreiben kannst.
Wenn Dir dies alles geglückt, ist, wirst Du deine Aufgabe besser verstehen und wahrscheinlich zu der ausstehenden Zerlegung von V eine Idee haben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
