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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und betrachte den Teilraum
S:= [mm] {\vektor{x \\ y\\z} \in \IK^3 | x+2y+3z =0 , 2x+5y+z=0}
[/mm]
von [mm] \IK^3. [/mm] Konstruiere einen linearen Isomorphismus K [mm] \cong [/mm] W |
Zwei Gleichungen auf eine gebracht
-5x - 13y = 0
y= - [mm] \frac{5x}{13}
[/mm]
Basis=s = [mm] \vektor{x \\ - \frac{5x}{13}}
[/mm]
[mm] \phi: [/mm] K -> W
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ - \frac{5x}{13}} [/mm] *x
Ich weiß nicht ob das so richtig ist
Und ob ich jetzt den linearen Isomorphismus bzw wie beweisen muss!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Do 22.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich nehme mal an, W=S.
Ich habe jetzt deine Rechnungen nicht nachgeprüft, aber dein Problem ist eher der Schritt zum linearen Isomorphismus.
Eine Menge [mm] $X=\left\{(x,y,z)\in\IR^3:ax+by+cz=0\right\}$ [/mm] für feste $a,b,c$ ist bekanntlich ein 2-dimensionaler Unterraum (also eine Ebene durch den Ursprung) von [mm] $\IR^3$. [/mm] Du hast in der Menge zwei Bedingungen, also zwei sich schneidende Ebenen durch den Ursprung, was eine Gerade ergibt.
Sei nun $v$ der Vektor, der die Gerade aufspannt, also [mm] $Gerade=\IR\cdot [/mm] v$.
Nun musst du nur noch die Isomorphieeigenschaft und die Linearität von der Abbildung
[mm] $\sigma:\IR\rightarrow [/mm] Gerade$, mit [mm] $\sigma(x)=vx$
[/mm]
zeigen und schon bist du fertig.
Gruß, Harris
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 Do 22.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallo, daanke
Hab aber was falsch in meiner abbildung!
$ [mm] \phi(x) [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ - \frac{5}{13}} [/mm] $ *x = l *x
So gehörts, würde ich sagen!
Linearität_
Seien x, y [mm] \in \IK
[/mm]
[mm] \phi [/mm] (x) + [mm] \phi [/mm] (y) = l*x + l * y
[mm] \phi [/mm] (x) + [mm] \phi [/mm] (y) = l*(x + y)
Da komme ich jetzt nicht weiter, komme möchte ich zu = [mm] \phi(x+y)
[/mm]
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> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und betrachte den Teilraum
> S:= [mm]{\vektor{x \\
y\\
z} \in \IK^3 | x+2y+3z =0 , 2x+5y+z=0}[/mm]
>
> von [mm]\IK^3.[/mm] Konstruiere einen linearen Isomorphismus K [mm]\cong[/mm]
> W
> Zwei Gleichungen auf eine gebracht
> -5x - 13y = 0
>
> y= - [mm]\frac{5x}{13}[/mm]
>
> Basis=s = [mm]\vektor{x \\
- \frac{5x}{13}}[/mm]
Hallo,
zunächst einmal ist festzustellen, daß das nicht richtig aufgeschrieben ist.
Du hast ausgerechnet:
[mm] W=\{$\vektor{x \\ - \frac{5x}{13}}$| x\in K\}, [/mm] und eine Basis davon wäre z.B der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ - \frac{5}{13}}$.
[/mm]
Aber mal ganz abgesehen davon: bist Du nicht etwas irritiert, daß Dein Basisvektor nur zwei Komponenten hat, die Elemente von W aber drei?
Mich täte das irritieren.
Du hast das Gleichungssystem falsch gelöst.
Du darfst Vielfache von Gleichungen addieren, das ist richtig.
Aber dadurch reduziert sich die Anzahl der Gleichungen nicht.
Du hattest das LGS
x+2y+3z =0
2x+5y+z=0
Wenn Du das 3-fache von II von I subtrahierst, bekommst Du das LGS
x+2y+3z=0
-5x-13y=0.
Beide Gleichungen müssen gelten, und nicht etwa nur die zweite!
W hat die Dimension 1, der Vektor b:= ... ist Deine Basis, und einen Isomorphismus von K nach W erhältst Du dann so, wie von Dir geplant - wenn auch die Durchführung nicht perfekt war:
[mm] \phi(x):=x*b [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K.
Begründen, daß das ein Isomorphismus ist, mußt Du.
das kannst Du entweder mit passenden Sätzen Deiner Vorlesung machen, wenn Du etwas Schönes findest, oder Du rechnest schell Linearität und Bijektivität vor.
Zu der frage, wie Du die linearität zeigst.
[mm] \phi(x+y)=???
[/mm]
[mm] \phi(x)+\phi(y)=???,
[/mm]
und dann schau, ob's gleich ist.
Gruß v. Angela
>
>
> [mm]\phi:[/mm] K -> W
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\vektor{x \\
- \frac{5x}{13}}[/mm] *x
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> Ich weiß nicht ob das so richtig ist
> Und ob ich jetzt den linearen Isomorphismus bzw wie
> beweisen muss!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 22.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Ich habe die Zweite Gleichung auf z umgeformt und sie in die erste eigesetzt angela.
Und der Hinweis zu Linmearität, ja das hatte ich in meinen vorigen Post so versucht.!
LG
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> Ich habe die Zweite Gleichung auf z umgeformt und sie in
> die erste eigesetzt angela.
Hallo,
wie auch immer Du es machst, Du behältst 2 Gleichungen.
Habt Ihr den Gaußalgorithmus schon gelernt?
Mit ihm kannst Du systematisch und - sofern du die Matrixschreibweise verwendest - mit wenig Schreiberei LGSe lösen.
Wenn Ihr es durchgenommen habt, du es aber nicht kannst, mußt Du es unbedingt lernen.
Poste, wenn#s besprochen wurde, mal die keffizientenmatrix und die zeilenstufenform.
Hast du denn eigentlich verstanden, warum Deine Lösung falsch ist?
> Und der Hinweis zu Linmearität, ja das hatte ich in meinen
> vorigen Post so versucht.!
Ja.
Wir brauchen jetzt erstmal die korrekte Lösung des Gleichungssystems, die Abbildung und dann kann man über die Linearität nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Lu- |
hei;)
Ix+2y+3z=0
2*I-II...-y+5z=0
y= 5z
x+ 2* (5z) + 3z =0
x+10z +3z=0
x+13z=0
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> hei;)
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> Ix+2y+3z=0
> 2*I-II...-y+5z=0
>
>
> y= 5z
>
> x+ 2* (5z) + 3z =0
> x+10z +3z=0
> x+13z=0
Hallo,
wie auch immer man z wählt, wenn man es so macht, daß y=5z und x=-13z, dann hat man eine Lösung des Gleichungssystems.
z kann man frei wählen.
Mit
z:=t
bekommt man
x=-13t
y=5t.
Also ist jeder Vektor der Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-13t\\5t\\t}=\t*\vektor{-13\\5\\1} [/mm] eine Lösung des Gleichungssystems.
[mm] \vektor{-13\\5\\1} [/mm] ist eine Basis von W.
Gruß v. Angela
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