Isomorphismus, Einheiten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 26.11.2011 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | | Zeige [mm] (\IZ/104\IZ)^{x}\cong (\IZ/105\IZ)^{x} [/mm] |
Hallo,
ich weiß irgendwie nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Zuerst dachte ich, einfach einen Isomorphismus anzugeben, hab also angefangen erstmal die ELemente der beiden Mengen aufzuschreiben, da beide allerdings 48 Elemente enthalten (habe ich mit der Eulerfunktion herausgefunden), habe ich diesen Versuch dann relativ schnell abgebrochen. Aber wenigstens habe ich bereits gezeigt, dass die Mengen gleich mächtig sind, sodass überhaupt eine Bijektion existieren kann.
Dann dachte ich,man könnte eventuell zeigen, dass beide Menen isomorph zu einer cyclischen Gruppe sind, aber auch dass funktioniert nicht, da 104 und 105 keine Primzahlen sind.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorgehen könnte?
Herzlichen Dank,
briddi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 26.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin briddi!
> Zeige [mm](\IZ/104\IZ)^{x}\cong (\IZ/105\IZ)^{x}[/mm]
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> Hallo,
> ich weiß irgendwie nicht, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen soll.
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> Zuerst dachte ich, einfach einen Isomorphismus anzugeben,
> hab also angefangen erstmal die ELemente der beiden Mengen
> aufzuschreiben, da beide allerdings 48 Elemente enthalten
> (habe ich mit der Eulerfunktion herausgefunden), habe ich
> diesen Versuch dann relativ schnell abgebrochen. Aber
> wenigstens habe ich bereits gezeigt, dass die Mengen gleich
> mächtig sind, sodass überhaupt eine Bijektion existieren
> kann.
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> Dann dachte ich,man könnte eventuell zeigen, dass beide
> Menen isomorph zu einer cyclischen Gruppe sind, aber auch
> dass funktioniert nicht, da 104 und 105 keine Primzahlen
> sind.
Verwende den chinesischen Restsatz und die Isomorphie [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast \cong (\IZ/(p-1)\IZ, [/mm] +)$, um die primen Restklassengruppen jeweils als direktes Produkt von zyklischen (additiv geschriebenen) Gruppen zu schreiben.
Dann musst du da mit dem chinesischen Restsatz weitermachen: du kannst sie jeweils schreiben als direkte Produkte von zyklischen Gruppen, die Primzahlordnung haben.
Bei beiden Gruppen sollten genau die gleichen Primzahlpotenzen in der gleichen Vielfachheit auftauchen.
LG Felix
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