Isomorphismus bei Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Es sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen U und W. Es gelte V=U [mm] \oplus [/mm] W
Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein Isomorphismus ist.
f: U x W -> U+W , f(u,w)= u+w |
| Aufgabe 2 | | Benutzen Sie Teil 1 sowie die Linearkombinationsabbildungen und zeigen Sie, wenn A={u1,u2,...,um} [mm] \subseteq [/mm] U und B={w1,w2,...,wn} [mm] \subseteq [/mm] W linear unabhängig sind, dann ist auch A [mm] \cup [/mm] B linear unabhängig |
Bei Aufgabe 1 komme ich soweit, dass ich ja erstmal zeigen muss, dass es eine lineare Abbildung ist und dann, dass sie bijektiv ist.
Bei dem Teil ab bijektiv beweisen, komme ich nicht mehr weiter, hier wäre Hilfe echt gut.
Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wie ich überhaupt so etwas beweisen soll und wie ich anfangen muss. Ich habe hier leider gar keine Ahnung..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Abend,
welche Eigenschaften muss eine Abbildung denn erfüllen, um bijektiv zu sein. Welche Kriterien kennst du, um Beispielsweise die Injektivität einer linearen Abbildung zu zeigen?
So fangen wir mal an.
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
Für Bijektivität muss ich zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.
Aber da fängt das Problem auch schon an. Bei Surjektivität kann ich mich noch grob an irgendwas mit dem Kern erinnern, bei Injektivität weiß ich nur, dass alle Punkte höchstens einmal getroffen werden dürfen. Nur wie ich dass alles zeigen und beweisen muss weiß ich nicht..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für Bijektivität muss ich zeigen, dass die Abbildung
> injektiv und surjektiv ist.
> Aber da fängt das Problem auch schon an. Bei
> Surjektivität kann ich mich noch grob an irgendwas mit dem
> Kern erinnern,
an was denn?
> bei Injektivität weiß ich nur, dass alle
> Punkte höchstens einmal getroffen werden dürfen. Nur wie
> ich dass alles zeigen und beweisen muss weiß ich nicht..
Eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern
der Nullraum ist! (Eine allgemeinere Aussage: Ein Gruppenhomomorphismus
ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern genau die Menge ist, die nur aus dem
neutralen Element der Gruppe, die der Definitionsbereich ist, besteht!)
Eigentlich müßte ich Dich hier ja jetzt schon bitten, diese Aussage zu
beweisen - denn solch' einen Beweis hätte man in der Vordiplomsprüfung
innerhalb kürzester Zeit eigentlich vorführen können müssen...
P.S. Was hat denn die obige Aussage bzgl. der Injektivität eigentlich mit Matrizen
zu tun, wenn man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen
betrachtet? Vielleicht wird dann auch mal klarer, warum das Lösen von Gleichungssystemen
[mm] $A*x=0\,$ [/mm] so interessant ist, alleine, wenn man eine Abbildung auf Injektivität untersucht...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen U und W.
> Es gelte V=U [mm]\oplus[/mm] W
> Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein Isomorphismus
> ist.
> f: U x W -> U+W , f(u,w)= u+w
> Benutzen Sie Teil 1 sowie die
> Linearkombinationsabbildungen und zeigen Sie, wenn
> A={u1,u2,...,um} [mm]\subseteq[/mm] U und B={w1,w2,...,wn} [mm]\subseteq[/mm]
> W linear unabhängig sind, dann ist auch A [mm]\cup[/mm] B linear
> unabhängig
> Bei Aufgabe 1 komme ich soweit, dass ich ja erstmal zeigen
> muss, dass es eine lineare Abbildung ist und dann, dass sie
> bijektiv ist.
> Bei dem Teil ab bijektiv beweisen, komme ich nicht mehr
> weiter, hier wäre Hilfe echt gut.
f ist surjektiv: sei v [mm] \in [/mm] U+W. Dann gibt es u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W mit v=u+w.
Na, was glaubst Du, wie mußt Du wohl (a,b) [mm] \in [/mm] U x W wählen, damit gilt
f(a,b)=v ??
f ist injektiv: da f linear ist, mußt Du zeigen: aus f(u,v)=0 folgt: u=v=0
Mach das mal. Dabei geht entscheidend ein, dass die Summe U+W direkt ist.
> Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wie ich überhaupt so etwas
> beweisen soll und wie ich anfangen muss. Ich habe hier
> leider gar keine Ahnung..
Du mußt [mm] x_1,...,x_l \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B hernehmen und zeigen:
aus [mm] \alpha_1,...,\alpha_l \in [/mm] K und [mm] \alpha_1x_1+...+\alpha_lx_l=0
[/mm]
folgt: [mm] \alpha_1=...=\alpha_l=0
[/mm]
Edit: Tobias hat mich auf eine Ungenauigkeit aufmerksam gemacht: wir sollten auch noch voraussetzen, dass [mm] x_i \ne x_j [/mm] gilt für i [mm] \ne [/mm] j.
Unterscheide 3 Fälle:
Fall 1: alle [mm] x_i \in [/mm] A. Dann bist Du fertig (warum ?)
Fall 2: alle [mm] x_i \in [/mm] B. Dann bist Du fertig (warum ?)
Fall 3: hier kannst Du Aufgabe 1 verbraten.
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Mi 17.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> Du mußt [mm]x_1,...,x_l \in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B hernehmen und zeigen:
[mm] $x_1,\ldots,x_l\in A\cup [/mm] B$ müssen als paarweise verschieden vorausgesetzt werden.
> aus [mm]\alpha_1,...,\alpha_l \in[/mm] K und
> [mm]\alpha_1x_1+...+\alpha_lx_l=0[/mm]
>
> folgt: [mm]\alpha_1=...=\alpha_l=0[/mm]
>
> Unterscheide 3 Fälle:
>
> Fall 1: alle [mm]x_i \in[/mm] A. Dann bist Du fertig (warum ?)
>
> Fall 2: alle [mm]x_i \in[/mm] B. Dann bist Du fertig (warum ?)
>
> Fall 3: hier kannst Du Aufgabe 1 verbraten.
(Hat es irgendeinen Vorteil, die Fälle 1 und 2 separat zu betrachten? D.h. hilft es bei Fall 3 zu wissen, dass mindestens ein [mm] $x_i\in [/mm] A$ und mindestens ein [mm] $x_i\in [/mm] B$ gilt?)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> > Du mußt [mm]x_1,...,x_l \in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B hernehmen und zeigen:
> [mm]x_1,\ldots,x_l\in A\cup B[/mm] müssen als paarweise
> verschieden vorausgesetzt werden.
Hallo Tobias,
da hast Du recht !
>
> > aus [mm]\alpha_1,...,\alpha_l \in[/mm] K und
> > [mm]\alpha_1x_1+...+\alpha_lx_l=0[/mm]
> >
> > folgt: [mm]\alpha_1=...=\alpha_l=0[/mm]
> >
> > Unterscheide 3 Fälle:
> >
> > Fall 1: alle [mm]x_i \in[/mm] A. Dann bist Du fertig (warum ?)
> >
> > Fall 2: alle [mm]x_i \in[/mm] B. Dann bist Du fertig (warum ?)
> >
> > Fall 3: hier kannst Du Aufgabe 1 verbraten.
> (Hat es irgendeinen Vorteil, die Fälle 1 und 2 separat zu
> betrachten? D.h. hilft es bei Fall 3 zu wissen, dass
> mindestens ein [mm]x_i\in A[/mm] und mindestens ein [mm]x_i\in B[/mm] gilt?)
Klar, es geht auch ohne Fallunterscheidung. Ich bin der Meinung, dass es für "Anfänger" mit Fallunterscheidung leichter ist.
Gruß FRED
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
Mir würde nur einfallen, dass a+b=v sein müssen, aber das bringt mir doch gar nichts oder?
Wie muss ich denn generell an so eine Aufgabe herangehen. Ich hab da leider echt immer wieder riesen Probleme.
Und wie zeige ich das denn bei der Injektivität?
Kann ich etwas schreiben wie f(u,v)=u+v=0
=>u+v=0. Aber darf ich das überhaupt so machen und wenn müsste ich doch jetzt 2 verschiedene Fälle betrachten?
Und zu Teilaufgabe 2: Wieder die selbe Frage, wie gehe ich allgemein so einen Beweis an?
Entschuldigung, wenn die Fragen dumm wirken, aber ich blicke da echt gar nicht durch..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 21.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
