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Hallo Zusammen,
Eine Isoquante ist folgendermaßen definiert: [mm]I\left(x_0\right) := \left\{r = \left(r_1,...,r_n\right)\left|\,x_0 = f\left(r_1,...,r_n\right)\right.\right\}[/mm]
Bedeutet diese Definition umgangssprachlich folgendes? :
Die Menge aller Produktionsfaktorkombinationen (Produktionsvektoren), bei denen nach der Anwendung der Produktionsfunktion [mm]f\![/mm] ein vorgegebenes Produktionsniveau [mm] $x_0$ [/mm] erreicht wird.
Als nächstes habe ich noch Probleme mit folgendem Beispiel: [mm]x_0 = f\left(r_1, r_2\right) = 12r_1 - 4r_1^2 + 4r_1r_2 - 4 r_2^2.[/mm]
Nach einigen Umformungen erhält man:
[mm]r_2 = \frac{1}{2}r_1 \pm \frac{\sqrt{-3r_1^2 + 12r_1 - x_0}}{2}\quad(\dagger)[/mm]
Aber wozu wird hier nach [mm]r_2[/mm] umgeformt?
Anschließend steht in dem Skript folgendes:
Für [mm]x_0 = 9[/mm] gibt die nächste Abbildung den Zusammenhang zwischen den Faktoreinsatzmengen wieder. Hierbei lassen sich die beiden Inputkombinationen [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] wie folgt charakterisieren:
[mm]\bullet\quad B_1[/mm] stellt diejenige Inputkombination mit dem geringsten Faktorverbrauch [mm]r_1[/mm] dar, die zur Produktion der Ausbringungsmenge [mm]x_0 = 9[/mm] benötigt wird.
[mm]\bullet\quad B_2[/mm] stellt diejenige Inputkombination mit dem geringsten Faktorverbrauch [mm]r_2[/mm] dar, die zur Produktion der Ausbringungsmenge [mm]x_0=9[/mm] benötigt wird.
Danach folgt eine graphische Darstellung zur vorigen Rechnung(. Die folgende Graphik ist von mir, ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") hier ist der zugehörige LaTeX-Quelltext):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Isoquante der Produktionsfunktion [mm]f\left(r_1,r_2\right) := 12r_1 - 4r_1^2 + 4r_1r_2 - 4r_2^2[/mm] zum Ausbringungsniveau [mm]f\left(r_1,r_2\right)=9[/mm].
Der blaue und grüne Graph sind hierbei [mm](\dagger)[/mm]
Hier verstehe ich nicht, wie man auf diese Skalierung gekommen ist, warum bei diesem Bild offenbar [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] zueinander in Bezug gesetzt werden und was dieser Schnittpunkt(?) [mm]A\![/mm] bedeutet.
Direkt unter diesem Bild finden man folgende Rechnungen:
[mm]\sqrt{-3r_1^2 + 12r_1 - 9} = 0[/mm]
[ ... unrelevante Umformungsschritte ... ]
[mm]\Leftrightarrow r_1 = 1 \vee r_1 = 3[/mm]
und
[mm]0 = \frac{1}{2}r_1^2 \pm \sqrt{-3r_1^2 + 12r_1 - 9}[/mm]
[..]
[mm]\Leftrightarrow r_1 = \frac{2}{3}[/mm]
Wozu wurden diese Rechnungen durchgeführt?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: tex) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 Di 02.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Karl,
> Also eine Isoquante ist ja folgendermaßen definiert:
> [mm]I(x_0) := \left\{r = \left(r_1,...,r_n\right)|\ x_0 = f(r_1,...,r_n)\right\}[/mm]
>
>
> Bedeutet diese Definition umgangssprachlich folgendes? :
> Die Menge aller Produktionsfaktorkombinationen
> (Produktionsvektoren),
> bei denen nach der Anwendung der Produktionsfunktion f ein
> vorgegebenes Produktionsniveau [mm]x_0[/mm] erreicht wird.
Ja, das sind eben alle Faktorkombinationen, die eine vorgegebene Ausbringungsmenge erzeugen.
> Als nächstes habe ich noch Probleme mit folgendem
> Beispiel:
> [mm]x_0 = f(r_1, r_2) = 12r_1 - 4r_1^2 + 4r_1r_2 - 4 r_2^2[/mm]
>
>
> Nach einigen Umformungen erhält man:
>
> [m]r_2 = \bruch{1}{2}r_1 \pm \bruch{\wurzel{-3r_1^2 + 12r_1 - x_0}}{2}[/m].
> Aber wozu wird hier nach [mm]r_2[/mm] umgeformt?
Diese Abhängigkeit zwischen den Produktionsfaktoren braucht man doch bspw., um eine Isoquante (s.u.) zeichnen zu können.
> Anschließend steht in dem Skript folgendes:
> Für [mm]x_0 = 9[/mm] gibt Abbildung 2.5 den Zusammenhang zwischen
> den Faktoreinsatzmengen wieder. Hierbei lassen sich die
> beiden Inputkombinationen [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] wie folgt
> charakterisieren:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Danach folgt eine mehr verwirrende als erklärende
> graphische Darstellung (offenbar von der vorigen Rechnung,
> Isoquante?):
Ja, das ist die Isoquante. Auf der horizontalen Achse ist [mm] $r_1$ [/mm] aufgetragen, auf der vertikalen [mm] $r_2$.
[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hier verstehe ich z.B. nicht, wie man auf diese Skalierung
> gekommen ist.
Entweder durch folgende Rechnung oder vielleicht hat man auch zunächst mit obiger Formel für [mm] $r_2=\dotsc$ [/mm] eine Wertetabelle angelegt und dann gezeichnet.
> Warum bei diesem Bild offenbar [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] zueinander in
> Bezug gesetzt werden, und was dieser seltsame
> Schnittpunkt(?) A zu bedeuten hat.
Auf der Ellipse (=Isoquante) befinden sich alle Produktionsfaktorkombinationen, die die Ausbringungsmenge [mm] $x_0=9$ [/mm] erzeugen.
Probier' es doch mal aus: Lies' einen Punkt auf der Ellipse ab und setze ihn in f ein -- herauskommen müßte 9.
Dem Punkt A kann ich auch keine sinnvolle Bedeutung geben (da ich keine Ahnung von dem Thema habe  )
In dem Isoquantenstück, das in dem eingezeichneten Rechteck liegt, befinden sich aber doch die ökonomisch sinnvollen Faktorkombinationen; bei allen anderen könnte man durch Reduktion eines Faktors dieselbe Ausbringsungsmenge erzeugen.
Je nach den Kosten der Faktoren [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] wird die Unternehmung also eine Faktorkombination auf dem Isoquantenstück innerhalb des Rechtecks wählen.
> Direkt unter diesem Bild finden man folgende Rechnungen:
> [mm]\wurzel{-3r_1^2 + 12r_1 - 9} = 0[/mm]
> ( ... unrelevante
> Umformungsschritte ... )
> [mm]\gdw r_1 = 1 \vee r_1 = 3[/mm]
>
> und
>
> [mm]0 = \bruch{1}{2}r_1^2 \pm \wurzel{-3r_1^2 + 12r_1 - 9}[/mm]
> (
> ... )
> [mm]\gdw r_1 = \bruch{2}{3}[/mm]
Ohne es nachgerechnet zu haben, tippe ich hier aber auf [mm] $r_1=\frac{3}{2}$ [/mm] (und auf einen überflüssigen Exponent bei [mm] $r_1$) [/mm] , dann hätte man mit diesen Rechnungen gerade die wichtigen Punkte [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] berechnet:
Mit der oberen Rechnung werden diejenigen [mm] $r_1$ [/mm] gesucht, zu denen es nur einziges [mm] $r_2$ [/mm] gibt [mm] ($\gdw$ [/mm] Wurzelausdruck=0). Das sind also gerade die Punkte, für die die Ellipse eine vertikale Tangente hat.
In der unteren Rechnung wurde [mm] $r_2=0$ [/mm] gesetzt, um [mm] $B_1$ [/mm] auszurechnen.
Aus der Zeichnung wird mir zwar klar, warum, aber ohne Zeichnung sehe ich noch nicht zwingend ein, dass dann [mm] $B_2$ [/mm] resultiert (, denn die Ellipse könnte ja auch etwas höher liegen).
> Also wofür sind diese Rechnungen jetzt gemacht worden?
>
> Ich hoffe jemand von euch kann mir eine Art Gesamtüberblick
> zu diesen
> Dinge geben.
Ich hoffe, das hat ein bisschen weitergeholfen.
Viele Grüße,
Marc
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