Ist Einpunktmenge Intervall? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 26.02.2006 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen, in dem es darum geht, dass die Funktion f: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] x [mm] \mapsto [/mm] 2x mod 1
transitiv ist. Das heißt, wenn ich f genügend oft auf ein Intervall I aus [0,1]anwende, ist der Schnitt mit einem beliebigen anderen Intervall J aus [0,1] nicht leer.
Den Beweis habe ich auch soweit verstanden, aber wenn ich für I und J Einpunktmengen nehme, kann ich Gegenbeispiele finden. Laut Definition auf Wikipedia sind aber Einpunktmengen auch Intervalle.
Was meint ihr dazu?
Gruß
Maike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 27.02.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Den Beweis habe ich auch soweit verstanden, aber wenn ich
> für I und J Einpunktmengen nehme, kann ich Gegenbeispiele
> finden. Laut Definition auf Wikipedia sind aber
> Einpunktmengen auch Intervalle.
> Was meint ihr dazu?
Das Problem ist (wie bei vielen Kleinigkeiten) dass es hierzu verschiedene Meinungen unter den Mathematikern gibt: Fuer manche Mathematiker sind Einpunktmengen Intervalle (es ist ja [mm] $\{ a \} [/mm] = [a, a]$), fuer andere nicht (das Innere eines Intervalles sollte nicht leer sein). Vielleicht findest du vorne (oder sonstwo) im Buch eine Bemerkung zur verwendeten Notation?
Nach dem ersten Argument fuer Einpunktmengen als Intervalle kann man uebrigens auch sagen, dass die leere Menge ein Intervall ist, und zwar [mm] $\emptyset [/mm] = [mm] \left]a, a\right[$ [/mm] fuer ein beliebiges $a [mm] \in \IR$. [/mm] Womit deine Aussage noch mehr Gegenbeispiele bekommt 
Zurueck zur Aussage: Fuer den Author sind Einpunktmengen anscheinend keine Intervalle.
LG Felix
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