Ist Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ist Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung?
Die Problematik ist mir schon klar:
x²=9
Wurzelziehen:
x=3
Beide Gleichungen haben unterschiedliche Lösungen.
Aber wenn ich festlege, das die "Wurzel aus x²" gleich |x| ist,
dann ist doch das Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung.
Meine Frage ist nun:
Wie handhabt man das Problem offiziell. Sagt man, das Wurzelziehen
ist keine Äquivalenzumformung. Oder sagt man, das Wurzelziehen
ist eine Äquivalenzumformung, und arbeitet mit Beträgen.
vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ohne mich da irgendwie binden zu wollen, hier mal meine Meinung (bzw. das, was ich so aus der Schule mitbekommen habe und mir selbst denke):
EDIT: Der folgende Text ist FALSCH, aber vielleicht lasse ich ihn doch besser stehen, damit man die Antworten von Leopold und Marc dazu besser versetehen kann (sie beziehen sich schließlich darauf).
Nein, das Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung.
Dies liegt ja daran, dass man durch das Wurzelziehen aus einer Eindeutigkeit eine Mehrdeutigkeit erschaffen kann, wobei letztere nicht zu richtigen Ergebnissen führen muss. Ziehe ich eine Wurzel, so gibt es dafür zwei Möglichkeiten - welche die "richtige" ist, das kann ich nicht sagen. Habe ich vorher eine negative Zahl quadriert, so "sollte die Wurzel negativ sein". Wenn sie vorher positiv war, dann nicht. Da man dies allerdings nicht wissen kann, muss man sich auf eine der beiden Varianten einigen und diese unäquivalente Umformung in Kauf nehmen - an ihr können auch die Betragstriche nichts ändern; es ist und bleibt eine nichtäquivalente Umformung. Angenommen dem wäre doch so, dann würde [mm]x=-3 \gdw x=3[/mm] gelten - ein Widerspruch.
Da man jedoch irgendwie mit diesem Problem leben muss, hat man sich darauf geeinigt, dass man die Wurzel als positive, reelle Zahl definiert. Dies ändert zwar nichts daran, dass es eine nichtäquivalente Umformung ist, jedoch wäre es ohne diese Festlegung noch schwieriger, mit der Wurzelfunktion umzugehen - Beispiel:
Schon für die Analysis ist die Festlegung der Wurzel auf den positiv-reellen Bereich von großer Bedeutung, da nur so jede Funktion der Form [mm]y=f(x)[/mm] eindeutigkeit sein muss. Will man bewusst eine mehrdeutige Funktion erzeugen, so muss man eben auf implizit angegebene Funktionsdefinitionen zurückgreifen - was ja aber auch keinen Nachteil darstellt. Doch definierte man die Wurzel nicht als positiv, so müsste man beständig den umständlichen Gebrauch der Betragstriche verwenden, um das positive Vorzeichen zu erhalten.
Dies spart man sich durch diese Festlegung.
Es ist ein schwieriges Thema und wie gesagt, nur meine Interpretation und Meinung. Vielleicht sehen manche das ganz anders.
Gruß,
Hanno
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Wurzelziehen ist eine Äquivalenzumformung!
Zunächst einmal sollte man sich klar machen, wie die Wurzel definiert ist:
Die Wurzel der reellen Zahl x ist diejenige nichtnegative reelle Zahl y, deren Quadrat x ergibt: y²=x.
Aufgrund dieser Definition existieren Wurzeln also nur für nichtnegative reelle x.
Wenn man nun eine Gleichung A=B hat, so kann man die Wurzel also nur ziehen, wenn A und B nichtnegativ sind. Und die neue Gleichung wrz(A)=wrz(B) (wrz=Wurzel) hat dieselbe Lösungsmenge wie die alte. Also ist das Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung.
Zu dem Beispiel: x²=9 hat die Lösungen ±3. Und wrz(x²)=wrz(9) hat auch die Lösungen ±3. Der Fehler, der allerdings oft gemacht wird, ist, wrz(x²) mit x zu identifizieren. Das ist im allgemeinen aber falsch! Richtig ist vielmehr: wrz(x²)=|x|. Die Gleichung vereinfacht sich also zu |x|=3. (Und die hat immer noch die Lösungen ±3.)
Darf man wrz(x²) niemals zu x vereinfachen?
Doch, unter gewissen Umständen. Wenn der Definitionsbereich von x keine negativen Zahlen umfaßt, darf man wrz(x²)=x schreiben. (Das hat man oft in der Geometrie, z.B. wenn ein Radius gesucht ist: r²=25 <=> wrz(r²)=wrz(25) <=> r=5 . Hier besteht, ohne daß das immer ausdrücklich gesagt wird, der Definitionsbereich von r nur aus den positiven reellen Zahlen. Also ist die letzte Äquivalenz gerechtfertigt - und der Zwischenschritt wird in der Regel weggelassen.)
Und was ist, wenn für x nur negative Werte zugelassen sind? (Das kommt nicht so häufig vor.)
Dann gilt wrz(x²)=-x !
Wenn jedoch für x keine Einschränkungen bestehen, kann man nur wrz(x²)=|x| sagen.
Und zum Schluß die Überraschung. Nicht das Wurzelziehen ist das Problem, sondern das Quadrieren! Das ist nämlich im allgemeinen keine Äquivalenzumformung:
So hat die Gleichung 2x+1=9 offensichtlich die Lösung 4, die Gleichung (2x+1)²=9² dagegen die Lösungen 4 und -5.
Man sollte daher das Quadrieren von Gleichungen vermeiden. Wenn es sich nicht vermeiden läßt, so kann man manchmal folgendermaßen vorgehen: Man versucht nachzuweisen, daß jede Seite der Gleichung bei allen möglichen Einsetzungen der Variablen nichtnegativ wird.
Gelingt einem dieser Nachweis, so ist das Quadrieren in diesem Fall eine Äquivalenzumformung, d.h. die quadrierte Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge wie die alte. (Beispiel: x²+1=wrz(x)+15. Beide Seiten der Gleichung können niemals negativ werden. Also darf man hier bedenkenlos quadrieren. Daß das hier nicht zweckmäßig ist, steht auf einem anderen Blatt.)
Gelingt einem dieser Nachweis jedoch nicht, so ist die neue quadrierte Gleichung eventuell nicht äquivalent zur alten. Sie hat daher eventuell mehr Lösungen als die alte. (Glücklicherweise können jedoch keine Lösungen verschwinden.) In diesem Fall muß man aus den scheinbaren Lösungen die richtigen durch die Probe an der Ausgangsgleichung herausfischen. (Beispiel: 12-x = wrz(x) hat weniger Lösungen als (12-x)² = x.)
Merke: Werden Gleichungen quadriert, so muß man mit den scheinbaren Lösungen an der Ausgangsgleichung die Probe machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Leopold.
Danke für deine Antwort, jetzt bin ich schlauer 
Im Nachhinein auch einleuchtend wie ich finde.
Gruß und Dank
Hanno
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>Zu dem Beispiel: x²=9 hat die Lösungen ±3. Und wrz(x²)=wrz(9) hat auch die Lösungen ±3. Der Fehler, der allerdings oft
>gemacht wird, ist, wrz(x²) mit x zu identifizieren.
Hallo, vielen Dank für die Antwort. Aber sie ergibt ein neues Problem:
wrz(x²) = x ergibt sich aber aus den Potenzgesetzen:
wrz(x²) = (x²) hoch 0.5 = x hoch 1 = x
Das würde einen Widerspruch in den Potenzgesetzen geben.
Als kann Wurzelziehen doch keine Äquivalenzumformung sein!?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Josef |
Bei bestimmten Gleichungen (z.B. Wurzelgleichunen) sind zu ihrer Lösung Umformungen notwendig, die nicht äquivalent sind, wie etwa das Quadrieren oder Wurzelziehen beider Seiten einer Gleichung. In diesen Fällen ist die Wirkung der Operation auf die Lösungsmenge mit einer Probe zu untersuchen.
Beispiel:
Die Gleichung [mm] x^2 [/mm] = 4 hat die Lösung 2 und -2.
Zwei Aussageformen [mm] A_1 [/mm] (x), [mm] A_2 [/mm] (x), beide über der Grundmenge G, sind äquivalent, wenn die Aussageform [mm] A_1(x)[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] A_2 [/mm] (x) über die Lösungsmenge L = G hat.
Dagegen ist [mm] x^2 [/mm] = 16 [mm]\wedge[/mm] x < 0 [mm]\gdw[/mm] x = -4 eine Äquivalenz, denn die einzige negative Lösung der Aussageform [mm] x^2 [/mm] = 16 ist x = -4.
Beispiel 2:
[mm]\wurzel{x+3}[/mm] = 2
D = ( x|x [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm]3 )
[mm]\gdw[/mm] x = 1
Diese Wurzelgleichung ist also äquivalent zu einer algebraischen Gleichung, und ihre Lösungsmenge ist L = {1}
Dagegen:
[mm]\wurzel{2x}[/mm] = -2
D = (x|x [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm]3 )
[mm]\gdw[/mm] x = 2
In diesem Fall ist das Quadrieren keine Äquivalenzumformung und x = 2 keine Lösung der Gleichung. Tatsächlich ist die Lösungsmenge sogar leer, denn der Wert der Wurzel ist für jedes beliebige x immer gleich oder größer 0 und niemals -2.
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Die Potenzgesetze gelten, sobald nicht-ganze Exponenten beteiligt sind, nur für positive Basen. Dein Argument sticht also nicht.
Im übrigen kannst du niemals Wurzelgesetze mit Potenzgesetzen erklären, sondern nur umgekehrt Potenzgesetze mit Wurzelgesetzen.
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> Die Potenzgesetze gelten, sobald nicht-ganze Exponenten
> beteiligt sind, nur für positive Basen. Dein Argument
> sticht also nicht.
Ja, stimmt! Das hatte ich dummerweise übersehen.
Wir können ja nicht davon ausgehen, daß x positiv ist.
Vielen Dank!
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Obwohl ich nun überzeugt bin, daß "Wurzelziehen" eine Äquivalenzumformung ist, wollte ich nur noch darauf hinweisen, daß in den Schulbüchern das Gegenteil steht. z.B.
Klett Verlag, Training Quadratische Gleichungen, Autor: Uwe Bergmann, Seite 42
Mich würde nur noch interessieren, ob das in euren Schulbüchern auch falsch geschrieben steht.
Mein Lehrer beharrt nämlich auf dem Buch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Josef |
Auszug aus:
![[]](/images/popup.gif) mathe.vwv.at/odl/gleich2/uebung.cgi?p=brp&l=1
24 Beispiele - Lösen quadratischer Gleichungen vom Typ ax2 + c = 0
In den Beispielen solls du Gleichungen vom Typ ax2+ bx = 0.
Beachte, dass nicht jede Umformung eine Äquivalenzumformung ist.
Beidseitiges Wurzelziehen ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung.
Lehrbuch Reichel, Buch 5, Kapitel5.2, Seite 81 - 82, Beispiele 186 - 188
Entnommen aus:
www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#Wul
Im Fall der Wurzelgleichung (25) weiß man keinen anderen Weg, als die Gleichung in einer Weise zu ändern, die keine Äquivalenzumformung ist. Dies kann zu ''scheinbaren'' Lösungen führen, die in Wahrheit keine sind.
Wenn wir beide Seiten von (25) quadrieren (was keine Äquivalenzumformung darstellt, siehe obige Warnung), so vereinfacht sie sich zu x + 1 = x2 - 5.
Dies ist eine quadratische Gleichung. Sie kann zu x2 - x - 6 = 0 umgeformt werden, woraus sich, nach Anwenden der Lösungsformel, die Lösungen x1,2 = 1/2 ± 5/2, also x1 = - 2 und x2 = 3 ergeben.
Aber: Diese zwei Zahlen sind nicht unbedingt Lösungen der gegebenen Gleichung, denn wir haben ja eine ''unerlaubte'' Operation ausgeführt und dabei möglicherweise Information verloren! Ein kurzer Check zeigt, daß die Zahl -2 gar nicht in der Definitionsmenge liegt, denn weder x + 1 ³ 0 noch x2 - 5 ³ 0 gelten für x = -2. Setzt man x = -2 in die gegebene Gleichung (25) ein, so ergibt sich eine sinnlose Aussage, in der Wurzeln aus negativen Zahlen vorkommen. Die Zahl 3 hingegen ist in D enthalten (für x = 3 gilt sowohl x + 1 ³ 0 als auch x2 - 5 ³ 0). In die gegebene Gleichung (25) eingesetzt, ergibt sich die Aussage Ö4 = Ö4, was einfach 2 = 2 bedeutet. Die Zahl 3 ist also die einzige Lösung des Problems, L = {3}, ungeachtet dessen, daß im Laufe der Rechnung zwei ''Lösungen'' aufgetreten sind.
Daraus können wir lernen: Sobald Operationen angewandt werden, die zwar beide Seiten einer Gleichung auf gleiche Weise behandeln, and nicht umkehrbar (und folglich keine Äquivalenzumformungen) sind, sind alle ab diesem Punkt auftretenden ''Lösungen'' nur als Kandidaten zu behandeln. Im Zweifelsfall ist die sicherste Methode immer, alle Kandidaten in die Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob die entstehenden Aussagen einen Sinn machen und, wenn ja, ob sie wahr oder falsch sind.
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@Alle User:
Sind denn alle streng monotonen Funktionen Äquivalenzumformungen?
So wie hier angedeutet:
http://www.cl.uni-heidelberg.de/kurs/ss04/mathe/html/page012.html
Das würde heißen:
1.logarithmieren
2.wurzelziehen
3. potenzieren mit ungeraden Exponenten (ist die potenzfunktion dann überhaupt Monoton oder streng monoton?)
wären Äquivalenzumformungen einer Gleichung. Stimmt das so?
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@Josef :
Hallo:
Im Schülerduden steht das aber Gegenteil. Dort ist Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung. Und www.mathe-online.at äußert sich in dem Artikel nur zu Quadrieren, von Wurzelziehen steht da nichts, oder hab ich das übersehen?
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Gar nicht mehr so ahnungslos hast du erkannt, worauf es ankommt: auf die Umkehrbarkeit. Bei auf Intervallen stetigen Funktionen heißt dies dann tatsächlich: auf die strenge Monotonie.
Wenn du eine Gleichung hast:
A=B ,
und auf beiden Seiten eine umkehrbare Funktion f (in deren Definitionsbereich A und B liegen) anwendest, erhältst du eine dazu äquivalente Gleichung:
A'=B' (mit A'=f(A), B'=f(B))
Die wichtigsten umkehrbaren Funktionen wurden von dir bereits genannt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 18.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Ahnungsloser,
> @Alle User:
> Sind denn alle streng monotonen Funktionen
> Äquivalenzumformungen?
Ich hoffe mal, ich vertue mich jetzt nicht, aber:
Ja, alle streng monotonen Funktionen sind Äquivalenzumformungen, da sie eindeutig umkehrbar sind, d.h., es findet keine Informationsverfälschung statt, wenn die Funktion angewendet wird.
> Das würde heißen:
>
> 1.logarithmieren
Der Logarithmus ist eine streng monoton wachsende Funktion, damit umkehrbar, also eine Äquvalenzumformung.
> 2.wurzelziehen
Hier ist das nicht so einfach, da das Wurzelziehen an sich eigentlich gar keine Funktion ist (Du kannst einem gegebenen Wert zwei Ergebnisse zuordnen, bsp: [mm] $\wurzel{4} [/mm] = +/- 2$), das wird meist dadurch umgangen, dass man das positive Ergebnis als Lösung ansieht, und dann ist die Funktion
$sqrt: [mm] \IR^{+}_0 \to \IR^{+}_0, [/mm] x [mm] \to \wurzel{x}$ [/mm] tatsächlich eine Äquivalenzumformung.
/e
Ergänzung:
Das Wurzelzeichen und "Wurzelziehen" habe ich hier für das Auffinden aller Zahlen benutzt, die mit sich selbst multipliziert das Argument ergeben, die tatsächliche Definition der bekannten Wurzelfunktion habe ich (hoffentlich richtig) bei $sqrt$ getätigt.
> 3. potenzieren mit ungeraden Exponenten (ist die
> potenzfunktion dann überhaupt Monoton oder streng
> monoton?)
Ja, [mm] $x^k$, [/mm] $k$ ungerade ist streng monoton, [mm] $x^2$ [/mm] ist nicht streng monoton, da jedes Element und dessen additives Inverses daselbe Ergebnis liefern.
> wären Äquivalenzumformungen einer Gleichung. Stimmt das
> so?
Generell kann man das so sagen.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Da man jedoch irgendwie mit diesem Problem leben muss, hat
> man sich darauf geeinigt, dass man die Wurzel als positive,
> reelle Zahl definiert. Dies ändert zwar nichts daran, dass
Ich denke, du vermengst hier zwei Dinge:
Zum einen die (alternativen) Möglicheiten der Definition der (reellen) Wurzel und zum anderen die zwei möglichen Lösungen der Äquivalenzumformung "Wurzelziehen".
ad 1)
Die reelle (Quadrat-) Wurzel aus einer nicht-negativen Zahl a, also [mm] $\wurzel{a}:=w$ [/mm] ist ja nun definiert als diejenige nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Hier hätte man alternativ auch definieren können: [mm] $\wurzel{a}=w$ $:\gdw$ [/mm] w ist diejenige nicht-positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Dann wäre die Wurzel aus 9 z.B. -3: [mm] $\wurzel{9}=-3$.
[/mm]
Soweit ich es überblicke, würde mit dieser Definition alle bekannten Rechengesetze für Wurzeln weiter Bestand haben (aber diese Behauptung ist gewagt, würde mich mal interessieren, was mit dieser Definition so alles schief geht).
Da wir alle faul sind und die bestehende Definition der Wurzel einem das Minuszeichen erspart, hat man sich dafür entschieden.
ad 2)
Das hat Leopold ja bereits dargestellt.
Jedenfalls macht man sich hier keine Gedanken mehr über die Definition der Wurzel, der Wert der Wurzel ist eindeutig festgelegt (sonst liesse sich ja auch keine Funktion erklären).
Beispiel:
[mm] $x^2=9$
[/mm]
Die beiden Lösungen [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-3 [/mm] entstehen nicht durch das nun folgende Ziehen der Wurzel, sondern sind bereits in dieser Gleichung vorhanden:
[mm] $\gdw$ [/mm]
1. Fall [mm] $x\ge0$: $\wurzel{x^2}=\wurzel{9}$ [/mm] (Wurzelausdrücke eindeutig!) [mm] $\gdw$ [/mm] $x=3$
2. Fall $x<0$: [mm] $\wurzel{x^2}=\wurzel{9}$ [/mm] (Wurzelausdrücke eindeutig!) [mm] $\gdw$ $\underbrace{-x}_{\mbox{\scriptsize{nicht-negatives Ergebnis der Wurzel!}}}=3$
[/mm]
Die zwei Lösungen entstehen also durch das Quadrat, nicht durch die Wurzel.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marc.
Auch dir danke.
Und sorry für meinen falschen Erklärungsversuch.
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> Dann wäre die Wurzel aus 9 z.B. -3: [mm]\wurzel{9}=-3[/mm].
> Soweit ich es überblicke, würde mit dieser Definition alle
> bekannten Rechengesetze für Wurzeln weiter Bestand haben
> (aber diese Behauptung ist gewagt, würde mich mal
> interessieren, was mit dieser Definition so alles schief
> geht).
Gar nichts, im funktionentheoretischen Sinne. Dann hat man sich einfach für einen anderen Zweig des Logarithmus entschieden. Denn dann (wenn man einmal eine "Treppe" der Riemannschen Fläche hochgelaufen ist) ist mit dem neuen Zweig [mm] $\tilde{\log}$ [/mm] des Logarithmus (wenn [mm] $\log$ [/mm] der Hauptzweig ist) für die dann neu definierte Wurzelfunktion:
[mm] $\sqrt{9} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{2} \tilde{\log}(9)} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{2} (\log(9) + 2\pi i)} [/mm] = (-1) [mm] \cdot [/mm] 3 = -3$.
Die beiden Definitionen sind völlig gleichberechtigt. Auf welcher "Höhe" man sich auf der Riemannschen Fläche der analytischen Fortsetzung der Wurzelfunktion gerade befindet, ist reine (menschliche) Willkür.
Liebe Grüße
Stefan
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