Ist die Folge konvergent? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{sin(n)}{\wurzel{3}} [/mm] |
Hallo!
Ich bin an die Aufgabe folgend rangegangen:
1.
Ich habe bis n=4 die a ausgerechnet. Dabei sieht man, dass die Folge streng monoton, also [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] ist.
Des Weiteren habe ich mir die Beschränktheit angeschaut und folgendes festgestellt: 0 < [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
Somit ist die Folge mon. steigend und nach oben nicht beschränkt. Da der erste Wert > 0 ist, kann die Folge, unter der Voraussetzung der ermittelten Beschränktheit, nicht konvergent sein.
Hier brauche ich, falls es nötig ist, eine Korrektur des Ganzen.
Danke bereits im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 23.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{sin(n)}{\wurzel{3}}[/mm]
> Hallo!
> Ich bin an die Aufgabe folgend rangegangen:
> 1.
> Ich habe bis n=4 die a ausgerechnet. Dabei sieht man, dass
> die Folge streng monoton, also [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm] ist.
Überzeuge Dich vom Gegenteil:
[mm] $\sin(1)\approx0,017$
[/mm]
[mm] $\sin(180)=0$
[/mm]
>
> Des Weiteren habe ich mir die Beschränktheit angeschaut
> und folgendes festgestellt: 0 < [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
Auch das lässt sich leicht wiederlegen.
[mm] $\sin(270)=-1$
[/mm]
>
> Somit ist die Folge mon. steigend und nach oben nicht
> beschränkt. Da der erste Wert > 0 ist, kann die Folge,
Leider beides falsch. Versuche erstmal die richtigen Behauptungen aufzustellen und beweise diese dann.
> unter der Voraussetzung der ermittelten Beschränktheit,
> nicht konvergent sein.
>
> Hier brauche ich, falls es nötig ist, eine Korrektur des
> Ganzen.
>
> Danke bereits im Voraus.
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Danke für die saubere Antwort.....nun habe ich eine ganz Andere Sichtweise auf diese Folge :)
Aus der Sicht würde ich nun sagen, dass es nicht monoton sein kann. Zu der Beschränktheit brauche ich einen Tipp, falls es iwie ginge.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 23.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Danke für die saubere Antwort.....nun habe ich eine ganz
> Andere Sichtweise auf diese Folge :)
>
> Aus der Sicht würde ich nun sagen, dass es nicht monoton
> sein kann. Zu der Beschränktheit brauche ich einen Tipp,
> falls es iwie ginge.
> Gruß
>
Ganz genau, sie ist nicht monoton.
Ich weiß nicht, wie ich da einen Tipp geben soll. Für die Sinusfunktion gilt per Definition: [mm] $-1\leq\sin x\leq 1\quad \forall x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Sa 23.07.2011 | | Autor: | notinX |
Ich habe jetzt erst gesehen, dass Du diese Frage gar nicht im Hochschulforum gestellt hast. Ich weiß nicht, ob und wie exakt ihr wirklich beweisen müsst. Aber unabhängig davon sind die Behauptungen falsch.
Tipp: Schau Dir mal an wie die Sinusfunktion aussieht.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
danke, das hilft mir weiter. die definition von ihrer seine mit -1 und 1 gilt aber für die Beschränktheit oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Sa 23.07.2011 | | Autor: | notinX |
> danke, das hilft mir weiter. die definition von ihrer
> seine mit -1 und 1 gilt aber für die Beschränktheit oder?
Das verstehe ich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Verzeihung :)
Ich wollte wissen, ob es richtig ist wenn ich sage, dass die Folge auch nicht beschränkt ist, denn die sin(x) (danke für den Tipp) ja keine Grenzen hat.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 23.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Verzeihung :)
>
> Ich wollte wissen, ob es richtig ist wenn ich sage, dass
> die Folge auch nicht beschränkt ist, denn die sin(x)
> (danke für den Tipp) ja keine Grenzen hat.
Du meinst mit Grenzen wahrscheinlich Schranken. Wie ist denn 'Schranke' bzw. Beschränktheit definiert?
Das sollte Deine Frage beantworten.
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Hybris |
Die Beshränktheit ist folgend definiert:
a [mm] \le x_{n} \le [/mm] b oder a [mm] \ge x_{n} \ge [/mm] b
Trotz dem, fällt es mir schwer, hier die Beschränkheit anzugeben.
Bei einer Folge wie z.B. [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit n Element aus [mm] \IN [/mm] außer die 0 kann man ruhig sagen, dass die Folge beschränkt ist. 1 [mm] \ge \bruch{1}{n} [/mm] > 0 ist.
Bei der Vorgegeben Folge fällt es mir aber sehr schwer, da ich nicht weiß, bzw. mir die Folge nicht ganz vorstellen kann, in welchen Abschnitten die bei welchen Werten sich bewegen wird.
Gruß
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> Die Beshränktheit ist folgend definiert:
>
> a [mm]\le x_{n} \le[/mm] b oder a [mm]\ge x_{n} \ge[/mm] b
>
> Trotz dem, fällt es mir schwer, hier die Beschränkheit
> anzugeben.
>
> Bei einer Folge wie z.B. [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit n Element aus [mm]\IN[/mm]
> außer die 0 kann man ruhig sagen, dass die Folge
> beschränkt ist. 1 [mm]\ge \bruch{1}{n}[/mm] > 0 ist.
>
> Bei der Vorgegeben Folge fällt es mir aber sehr schwer, da
> ich nicht weiß, bzw. mir die Folge nicht ganz vorstellen
> kann, in welchen Abschnitten die bei welchen Werten sich
> bewegen wird.
Hallo,
Schau dazu mal ullims Antwort an. Es ist [mm] \sin [/mm] beschränkt durch 1 und -1. Dann noch den konstanten Faktor einbeziehen.
LG
>
> Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 23.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Folge [mm] a_n=\bruch{sin(n)}{\wurzel{3}} [/mm] ist beschränkt da der Sinus beschränkt ist, durch +1 nach oben und durch -1 nach unten.
Die Grenzen der Folge [mm] a_n [/mm] sind [mm] \pm\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Da die Sinusfunktion periodisch ist ist die Folge [mm] a_n [/mm] ossizilierend und somit auch nicht konvergent.
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