Ist die Matrix regulär? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Sa 07.03.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | Die Matrix A=
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 5 & 4 \\ 0&0&0&7&5&3\\0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 2\\}
[/mm]
ist regulär.
Wahr oder falsch? |
Eine Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist, d.h. es exestiert eine A^-1 Matrix.
Bedingungen für die Existenz einer inversen Matrix sind:
1. [mm] |A|\not=0 \gdw [/mm] A hat vollen Rang n,
2. die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig.
3. die Zeilenvektoren von A bilden Basis der [mm] \IR^n.
[/mm]
Also bevor ich angefangen haeb die Determiante auszurechnen, hat mir mein Matheprogramm "Matlab" die det(A) = 0 ausgerechnet! Daraus folgt, dass Die Matrix A regulär ist.
Kann man vielleicht irgendwie schneller die lineare abhängigkeit der Zeilenvektoren sehen, denn das würde ja auch für eine reguläre Matrix stehen???
Danke!
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> Die Matrix A=
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 5 & 4 \\ 0&0&0&7&5&3\\0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 2\\}[/mm]
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> ist regulär.
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> Wahr oder falsch?
> Eine Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist, d.h.
> es exestiert eine A^-1 Matrix.
> Bedingungen für die Existenz einer inversen Matrix sind:
> 1. [mm]|A|\not=0 \gdw[/mm] A hat vollen Rang n,
> 2. die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig.
> 3. die Zeilenvektoren von A bilden Basis der [mm]\IR^n.[/mm]
Hallo,
ja, und in diesen Fällen ist die Determinante der Matrix von Null verschieden.
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> Also bevor ich angefangen haeb die Determiante
> auszurechnen, hat mir mein Matheprogramm "Matlab" die
> det(A) = 0 ausgerechnet! Daraus folgt, dass Die Matrix A
> regulär ist.
Nein, es folgt genau das Gegenteil, s.o.
> Kann man vielleicht irgendwie schneller die lineare
> abhängigkeit der Zeilenvektoren sehen, denn das würde ja
> auch für eine reguläre Matrix stehen???
Nein, die lineare Abhängigkeit würde sagen: nicht regulär.
Für die berechnung kannst Du Dir z.B. zunutze machen, daß es eine 2x2-Blockmatrix ist. Ihre Det. erhältst Du aus dem Produkt der Determinanten der oberen linken und der unteren rechten 3x3-Matrix.
Die Det der oberen sieht man sofort, an die der unteren kommt man schnell: subtrahiere mal die mittlere Spalte von den beiden anderen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 07.03.2009 | | Autor: | deny-m |
Ups , hab das total vertauscht, natürlich ahst du recht! Ok ich hab das nach deiner Methode geschafft! kannst du mri noch mal erklären was eine 2,2 Blockmatrix ist????
danke dir!
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Hi
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 &|& 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 3&| & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 3&| & 4 & 5 & 6 \\-&-&-&-&-&-&- \\ 0 & 0 & 0&| & 6 & 5 & 4 \\ 0&0&0&|&7&5&3\\0 & 0 & 0 &|& 8 & 5 & 2\\} [/mm] $
Die Matrix besteht aus insgesamt vier [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen, d.h. du hast [mm] $2\times [/mm] 2$ Blöcke. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung der Determinante.
Gruß Patrick
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