Ist diese Reihe konvergent? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Di 10.12.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Es sei [mm] x>1 [/mm]. Ist die unendliche Reihe
[mm]S= \summe_{k=1}^{\infty } (-1)^k * (\wurzel[k]{x} -1) [/mm]
konvergent, absolut konvergent oder divergent? |
Hallo ihr Lieben,
ich wollte anfangen in dem ich Behaupte die Reihe wäre konvergent und dass dann direkt beweise:
Durch Cauchy-Kriterium weiß man, dass wenn der Abstand zweier beliebiger ab einem Index kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist. (Grob gesagt) Also:
[mm] \forall \varepsilon >0 \exists N\in \mathbbN \forall m>n\ge N : |a_m -a_n|<\varepsilon [/mm]
Dabei ist [mm] m=2n >n [/mm] eine Annahme o.B.d.A.. Ich folgere daraus:
[mm] |s_m - s_n| = | s_{2n} - sn |< \varepsilon [/mm]
Eingesetzt :
(*) [mm] |{(-1)^{n+1} * (\sqrt[n+1]{x} -1)+...+ (-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x}-1)}|<\varepsilon [/mm]
Nun habe ich mir folgende Abschätzung überlegt:
[mm] |{(-1)^{n+1} * (\sqrt[n+1]{x} -1)+...+ (-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x}-1)}|<|{n* (-1)^{2n} *(\sqrt[2n]{x} -1 )}|<\varepsilon [/mm]
Da [mm] x>1 [/mm] und [mm] 2n[/mm] gerade ist, ist der Term immer positiv und ich kann die Betragsstriche weglassen (bilde dabei auch den Grenzwert) :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n*(-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x} -1) ) < \varepsilon[/mm]
Nun teile ich den obigen Grenzwerte gedanklich auf und erkenne das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{2n}=1 [/mm] ist. Und das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[2n]{x} = 1 [/mm] Somit ergibt sich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(1-1) = 0 [/mm]
Nun argumentiere ich:
Da [mm] |{n\cdot{} (-1)^{2n} \cdot{}(\sqrt[2n]{x} -1 )}| [/mm] die konvergente Majorante von (*) ist und den Grenzwert 0 hat und somit kleiner ist als jedes fest gewählte Epsilon. So muss auch (*) eine konvergente Reihe sein mit dem Grenzwert 0.
Hier greift das CAUCHY-Kriterium, denn (*) beschreibt gerade den Abstand zweier beliebiger Reihenglieder : [mm] |s_{2n} -s_n | [/mm].
Dadurch muss S konvergent sein. Was zu zeigen war.
Wäre das richtig? Habe ich einen gedanklichen Fehler gemacht?
MfG Boastii :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]x>1 [/mm]. Ist die unendliche Reihe
>
> [mm]S= \summe_{k=1}^{\infty } (-1)^k * (\wurzel[k]{x} -1) [/mm]
>
> konvergent, absolut konvergent oder divergent?
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich wollte anfangen in dem ich Behaupte die Reihe wäre
> konvergent und dass dann direkt beweise:
>
> Durch Cauchy-Kriterium weiß man, dass wenn der Abstand
> zweier beliebiger ab einem Index kleiner als [mm]\varepsilon[/mm]
> ist. (Grob gesagt) Also:
>
> [mm]\forall \varepsilon >0 \exists N\in \mathbbN \forall m>n\ge N : |a_m -a_n|<\varepsilon[/mm]
>
> Dabei ist [mm]m=2n >n[/mm] eine Annahme o.B.d.A..
Nein, das kannst Du nicht machen !!!
> Ich folgere
> daraus:
>
> [mm]|s_m - s_n| = | s_{2n} - sn |< \varepsilon[/mm]
>
> Eingesetzt :
>
> (*) [mm]|{(-1)^{n+1} * (\sqrt[n+1]{x} -1)+...+ (-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x}-1)}|<\varepsilon[/mm]
>
> Nun habe ich mir folgende Abschätzung überlegt:
>
> [mm]|{(-1)^{n+1} * (\sqrt[n+1]{x} -1)+...+ (-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x}-1)}|<|{n* (-1)^{2n} *(\sqrt[2n]{x} -1 )}|<\varepsilon[/mm]
>
> Da [mm]x>1[/mm] und [mm]2n[/mm] gerade ist, ist der Term immer positiv und
> ich kann die Betragsstriche weglassen (bilde dabei auch den
> Grenzwert) :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n*(-1)^{2n} * (\sqrt[2n]{x} -1) ) < \varepsilon[/mm]
>
> Nun teile ich den obigen Grenzwerte gedanklich auf und
> erkenne das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{2n}=1[/mm] ist.
> Und das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[2n]{x} = 1[/mm] Somit
> ergibt sich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(1-1) = 0 [/mm]
>
> Nun argumentiere ich:
> Da [mm]|{n\cdot{} (-1)^{2n} \cdot{}(\sqrt[2n]{x} -1 )}|[/mm] die
> konvergente Majorante von (*) ist und den Grenzwert 0 hat
> und somit kleiner ist als jedes fest gewählte Epsilon. So
> muss auch (*) eine konvergente Reihe sein mit dem Grenzwert
> 0.
> Hier greift das CAUCHY-Kriterium, denn (*) beschreibt
> gerade den Abstand zweier beliebiger Reihenglieder :
> [mm]|s_{2n} -s_n | [/mm].
> Dadurch muss S konvergent sein. Was zu zeigen war.
>
>
> Wäre das richtig?
Nein
> Habe ich einen gedanklichen Fehler
> gemacht?
Siehe oben.
Tipp: Leibnizkriterium.
FRED
>
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> MfG Boastii :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Boastii |
Hallo, tut mir leid das ich jetzt erst antworte.
Danke aber für deine Antwort.
> Nein, das kannst Du nicht machen !!!
Wieso nicht? :)
> Tipp: Leibnizkriterium.
Alles klar ich versuchs:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k( \wurzel[k]{x} -1) = \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k a_k[/mm]
Diese Reihe ist konvergent wenn [mm] (a_k)_{k \in \mathbb N} [/mm] eine monotone fallende Nullfolge ist (Leibniz-Kriterium).
Zuerst prüfe ich, ob es sich um eine Nullfolge handelt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}( \wurzel[k]{x} -1) = -1 + \limes_{k\rightarrow\infty}( \wurzel[k]{x}) = -1+x^{\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{k}} = -1+x^{\frac{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} k}}= -1+x^0 = 0[/mm]
Als nächstes ob die Folge monoton fallend ist:
[mm] ((\wurzel[k+1]{x} -1 )-(\wurzel[k]{x} -1 ))<0 [/mm]
[mm] \wurzel[k+1]{x} -\wurzel[k]{x} <0 [/mm]
hier weiß ich nicht weiter. Wie könnte ich hier weitermachen? Meine Kommilitonen haben mir gesagt das die Reihe absolut konvergent ist. Wie komme ich darauf?
Gruß
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Abend,
> Hallo, tut mir leid das ich jetzt erst antworte.
>
> Danke aber für deine Antwort.
> > Nein, das kannst Du nicht machen !!!
>
> Wieso nicht? :)
Du setzt einfach m=2n, das darfst du nicht.
>
> > Tipp: Leibnizkriterium.
>
> Alles klar ich versuchs:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k( \wurzel[k]{x} -1) = \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k a_k[/mm]
>
> Diese Reihe ist konvergent wenn [mm](a_k)_{k \in \mathbb N}[/mm]
> eine monotone fallende Nullfolge ist (Leibniz-Kriterium).
>
> Zuerst prüfe ich, ob es sich um eine Nullfolge handelt:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}( \wurzel[k]{x} -1) = -1 + \limes_{k\rightarrow\infty}( \wurzel[k]{x}) = -1+x^{\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{k}} = -1+x^{\frac{1}{\limes_{k\rightarrow\infty} k}}= -1+x^0 = 0[/mm]
>
> Als nächstes ob die Folge monoton fallend ist:
>
> [mm]((\wurzel[k+1]{x} -1 )-(\wurzel[k]{x} -1 ))<0 [/mm]
>
> [mm]\wurzel[k+1]{x} -\wurzel[k]{x} <0[/mm]
Stelle mal weiter um:
[mm] \wurzel[k+1]{x}<\wurzel[k]{x}
[/mm]
[mm] \frac{\wurzel[k+1]{x}}{\wurzel[k]{x}}<1
[/mm]
Wende jetzt Potenzgesetze an. Beachte dann, dass x>1 vorausgesetzt war.
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> hier weiß ich nicht weiter. Wie könnte ich hier
> weitermachen? Meine Kommilitonen haben mir gesagt das die
> Reihe absolut konvergent ist. Wie komme ich darauf?
Absolute Konvergenz ermittelst du indem du
[mm] \sum_k|a_k| [/mm] betrachtest. Damit fällt also das [mm] (-1)^k [/mm] weg.
Absolute Konvergenz ist stärker als die "normale".
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> Gruß
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