Ist rad(I) Unterring von R? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring und sei I ein Ideal von R. Zeige, dass rad(I):= [mm] \{a \in R : a^n \in I, n \in \IN\}. [/mm] Ist rad(I) ein Unterring von R? |
Ich würde sagen: Ja. Weil Einselement vorhanden sein müsste ... wenn ich denn voraussetzen darf, dass
mit [mm] a^n \in [/mm] I, auch 1 \ I ist. Ist 1 in I? Weiß ich das?
Dann würde folgen: [mm] a^n [/mm] = [mm] 1*a^n [/mm] = [mm] (1*a)^n [/mm]
=> (1*a)=(a*1) [mm] \in [/mm] rad(I)
Wenn 1 [mm] \not\in [/mm] I. Dann würde nur [mm] a^0 [/mm] funktionieren. Womit rad(I) kein Unterring wäre, weil 0 [mm] \not\in [/mm] I ...
Verstehe ich das richtig?
Danke schon mal 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christina!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei R ein kommutativer Ring und sei I ein Ideal von R.
> Zeige, dass rad(I):= [mm]\{a \in R : a^n \in I, n \in \IN\}.[/mm]
Kann es sein, dass der Satz unvollstaendig ist?
> Ist rad(I) ein Unterring von R?
>
> Ich würde sagen: Ja. Weil Einselement vorhanden sein
> müsste ... wenn ich denn voraussetzen darf, dass
> mit [mm]a^n \in[/mm] I, auch 1 \ I ist. Ist 1 in I? Weiß ich das?
Was genau willst du jetzt? Erst sagst du ja, dass es ein Unterring ist. Dann faengst du an zu zweifeln. Und dann hast du ploetzlich $1 [mm] \in [/mm] I$ und willst wissen ob das stimmt.
Wenn du ein Ideal $I$ hast, wann genau ist $1 [mm] \in [/mm] I$?
> Dann würde folgen: [mm]a^n[/mm] = [mm]1*a^n[/mm] = [mm](1*a)^n[/mm]
> => (1*a)=(a*1) [mm]\in[/mm] rad(I)
Was war die Voraussetzung? $a [mm] \in [/mm] rad(I)$?
> Wenn 1 [mm]\not\in[/mm] I. Dann würde nur [mm]a^0[/mm] funktionieren.
Was meinst du mit `funktionieren'?
> Womit rad(I) kein Unterring wäre, weil 0 [mm]\not\in[/mm] I ...
Wieso ist 0 nicht in $I$? Und was hat das damit zu tun, dass $rad(I)$ kein Unterring ist?
Vielleicht waere es ganz sinnvoll, wenn du mal ganz ruhig aufschreibst, was du an Voraussetzungen hast, was du eigentlich zeigen/widerlegen willst und wie du da vorgehst, ohne alles in einem undurchsichtigen Mix hier reinzuwuerfeln. Das wuerde uns sehr helfen, dir zu helfen!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring und sei I <| R ein Ideal von R.
Zeigen Sie, dass das Radikal von I
rad(I) := { a [mm] \in [/mm] R : [mm] a^n \in [/mm] I für ein n [mm] \in [/mm] N}
ein Ideal ist, welches I enthält. Ist rad(I) ein Unterring von R? |
hallo felix! erst einmal danke für deine antwort.
hattest recht, mir ist beim abtippen der sache ein teil abhanden gekommen. jetzt ist die aufgabe oben vollständig.
mich interessiert dabei nur die frage, ob rad(I) ein unterring ist.
ich werd mich jetzt mal dran setzen und versuchen etwas strukturierter meine problemchen aufzuschreiben ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Sa 03.05.2008 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
> Sei R ein kommutativer Ring und sei I <| R ein Ideal von
> R.
> Zeigen Sie, dass das Radikal von I
> rad(I) := { a [mm]\in[/mm] R : [mm]a^n \in[/mm] I für ein n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N}
> ein Ideal ist, welches I enthält. Ist rad(I) ein Unterring
> von R?
>
> mich interessiert dabei nur die frage, ob rad(I) ein
> unterring ist.
Das haengt ganz von eurer Definition von Ring und Unterring ab. Wenn die Ringe eine Eins haben und die Unterringe diese Eins ebenfalls enthalten muessen, dann ist $rad(I)$ genau dann ein Unterring, wenn $I = R$ ist (das ist genau dann der Fall, wenn $1 \in I$ ist).
LG Felix
|
|
|
|
