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| Aufgabe | Stelle die Folge in einem Web-Diagramm dar. Wie heißt die Iterationsfunktion? Stelle auch eine vermutung über Konvergenz und Divergenz der Folge auf. Ermittle gegebenenfalls den Grenzwert!
a) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+x_{n}} x_{1}=6
[/mm]
b) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n}^{2} x_{1}=1,5 [/mm] |
1)Zu der Frage wie die Iterationsfunktion heißt: Sind die beiden Funktionen nicht schon Iterationsfunktionen? Oder lauten die anders?
2) Wie kann ich allgemein sagen, dass eine Folge konvergent ist oder divergent? Also wie kann ich nachweisen, dass die Funktionen einen oder keinen Grenzwert haben?
Ich danke jetzt schon einmal im Vorraus!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 20.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Bestimme nährungsweise durch Iteration eine Lösung der Gleichung. Forme geeignet um!
a) [mm] x^{3} [/mm] + x +1 = 0
b) [mm] x^{3} [/mm] - x - 2 = 0
d) [mm] x^{5} [/mm] - x + 1 = 0 |
Ich würde gerne wissen wie man wissen kann, wann man diese Gleichungen richtig umgeformt hat, sodass sie zu einer Lösung führen.
z.b.
d) [mm] x^{5} [/mm] - x + 1 = 0
Umformungsmöglichkeiten:
x= [mm] x^{5} [/mm] + 1
x= [mm] \wurzel[5]{x - 1}
[/mm]
Danke schon einmal für die Hilfe!!
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Hallo angreifer,
> Bestimme nährungsweise durch Iteration eine Lösung der
> Gleichung. Forme geeignet um!
>
> a) [mm]x^{3}[/mm] + x +1 = 0
> Ich würde gerne wissen wie man wissen kann, wann man diese
> Gleichungen richtig umgeformt hat, sodass sie zu einer
> Lösung führen.
>
> z.b.
>
> d) [mm]x^{5}[/mm] - x + 1 = 0
>
> Umformungsmöglichkeiten:
>
> x= [mm]x^{5}[/mm] + 1
> x= [mm]\wurzel[5]{x - 1}[/mm]
Ich denke, du willst die Aufgaben durch Iteration lösen?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dann machst du dir am besten zunächst ein Bild der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und erkennst, dass zwischen -1 und 0 eine Nullstelle liegt.
Nun kannst du die ![[]](/images/popup.gif) Regula Falsi oder ein anderes iteratives Näherungsverfahren anwenden, um die Nullstelle näherungsweise zu bestimmen.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Wir haben das irgendwie mit dem Fixpunktverfahren gelernt mit Hilfe von Web-Diagrammen. Und dabei muss man ja eine rekursionsgleichung aufstellen. Nur leider gibt es zig verschiedene möglichkeiten eine Rekursionsgleichung aufzustellen. Für die aufgabe d) lautet die richtige z.B. x = [mm] \wurzel[5]{x-1}
[/mm]
dann bekommt man für die Nullstellen x = -1,167303978 heraus!
Ich habe aber zwei Aufgaben bei denen ich einfach nicht die richtige Rekursionsgleichung für das Lösen mit dem Web-diagramm finde.
das sind die Aufgaben: a) [mm] x^{3} [/mm] + x + 1 = 0 und e) [mm] x^{5} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] + x + 2 = 0
würde geren wissen wie dort die richtigen Rekursionsgleichungen lauten und ob es besondere regeln gibt, die man beachten muss, wenn man gleichungen zu einer rekursionsgleichung für das Web-Diagramm umformt. habe das nämlich in keinen Büchern gefunden und unsere Lehrerin ist 3 Wochen ausgefalllen und müssen uns das somit alleine erarbeiten!
Danke für eure Hilfe, glaube ohne euch wäre ich mancheinmal echt schon völlig verzweifelt 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Fr 27.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi angreifer,
zu Aufgabe a)
[mm] x^3+x+1=0 [/mm] kann man umformen in [mm] x(x^2+1)+1=0 [/mm] und daraus folgt [mm] x=-\bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
nun kann man den Fixpunktsatz anwenden [mm] x_{n+1}=T(x_n) [/mm] mit [mm] T(x)=-\bruch{1}{x^2+1} [/mm] und z.B. mit Anfangswert [mm] x_0=0 [/mm] folgt
x=-0,729
zu Aufgabe b)
[mm] x^5-2x^2+x+2=0 [/mm] kann man umformen in [mm] x=-\bruch{2}{x^4-2x+1} [/mm] und dann verfahren wie bei a)
Wichtig ist, das bei anwenden des Fixpunktsatzes gilt
|T'(x)|<1, da sonst das Verfahren nicht konvergiert. Vielleicht hilf das auch etwas weiter bei Deiner Frage, wie wähle ich die Rekursionsgleichung.
Für die Beispiele zeigt sich aber, das das Newton Verfahren z.B. viel schneller konvergiert als das Fixpunktverfahren.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 27.10.2006 | | Autor: | angreifer |
danke, hast meine Problem gelöst, jetzt kann ich die präsentation zu diesem verfahren vorbereiten. Das das Newetonsche Nährungsverfahren hier besser gewesen wäre hab ich auch gemerkt, nur leida durfte ich die aufgaben nicht damit lösen!
Nochmals vielen dank an alle!!!
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Konvergenz