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| Aufgabe | Es sei [mm] b\in \IR^{2}. [/mm] Das Gleichungssystem Tx=b mit T= [mm] \pmat{ 6 & -1 \\ 3 & 2 } [/mm] soll für geeignetes [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit dem folgenden Iterationsverfahren gelöst werden:
[mm] x^{(0)} [/mm] := 0
[mm] x^{(k+1)} [/mm] := [mm] x^{(k)} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] (T [mm] x^{(k)} [/mm] - b) (k [mm] \in \IN).
[/mm]
Wie muss [mm] \alpha [/mm] gewählt werden, um eine optimale Konvergenz zu erhalten, dh. wann ist der Spektralradius von I - [mm] \alpha [/mm] T minimal? |
Hallo!
ich bin leicht verwirrt, was ich jetzt genau hier tun soll:
Eigentlich suchen wir doch ein [mm] \alpha [/mm] für das der betragsmäßig größte Eigenwert von I - [mm] \alpha [/mm] T minimal ist. und dafür muss der Apektralradius <1 sein, oder?
Das habe ich mir so aus den Definitionen zusammengesammelt.
Und wie ist das mit dem Iterationsverfahren?
Heißt das jetzt, dass, wenn x= [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] ist, dann [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=x^{(0)} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] ( T [mm] x^{(0)} [/mm] - b) ?
Oder hab ich da was falsch verstanden?
Könnte jemand mir hier weiter helfen?
Das wäre toll 
Achja: und frohe Weihnachten allesamt! 
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Hallo Mathe-Lily,
> Es sei [mm]b\in \IR^{2}.[/mm] Das Gleichungssystem Tx=b mit T=
> [mm]\pmat{ 6 & -1 \\ 3 & 2 }[/mm] soll für geeignetes [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> mit dem folgenden Iterationsverfahren gelöst werden:
> [mm]x^{(0)}[/mm] := 0
> [mm]x^{(k+1)}[/mm] := [mm]x^{(k)}[/mm] - [mm]\alpha[/mm] (T [mm]x^{(k)}[/mm] - b) (k [mm]\in \IN).[/mm]
>
> Wie muss [mm]\alpha[/mm] gewählt werden, um eine optimale
> Konvergenz zu erhalten, dh. wann ist der Spektralradius von
> I - [mm]\alpha[/mm] T minimal?
> Hallo!
> ich bin leicht verwirrt, was ich jetzt genau hier tun
> soll:
> Eigentlich suchen wir doch ein [mm]\alpha[/mm] für das der
> betragsmäßig größte Eigenwert von I - [mm]\alpha[/mm] T minimal ist.
> und dafür muss der Apektralradius <1 sein, oder?
Der Spektralradius muss <1 sein, damit dieses Verfahren überhaupt konvergiert.
Berechne also die Eigenwerte von [mm] I-\alpha T\in\IR^{2\times2}.
[/mm]
> Das habe ich mir so aus den Definitionen
> zusammengesammelt.
>
> Und wie ist das mit dem Iterationsverfahren?
> Heißt das jetzt, dass, wenn x= [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> ist, dann [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{2}=x^{(0)}[/mm] - [mm]\alpha[/mm] ( T [mm]x^{(0)}[/mm] - b) ?
Nein.
[mm] x^{(0)}=(0,0)^T
[/mm]
und
[mm] x^{(k+1)}=x^{(k)}-\alpha(T x^{(k)}-b), [/mm]
Es ist [mm] x^{(k)}\in\IR^2 [/mm] für alle [mm] k\in\IN.
[/mm]
> Oder hab ich da was falsch verstanden?
>
> Könnte jemand mir hier weiter helfen?
> Das wäre toll
>
> Achja: und frohe Weihnachten allesamt!
Danke, das wünschen wir/ich dir auch.
LG
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Danke erstmal
Ich hab das jetzt mal probiert mit dem Eigenwertberechnen.
Das ist mein Ergebnis:
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 4 [mm] \alpha \pm \wurzel{16 \alpha^{2} - 15}
[/mm]
Stimmt das so?
Und jetzt muss ich doch ein passendes [mm] \alpha [/mm] suchen, damit der Spektralradius von I- [mm] \alpha [/mm] T minimal ist.
Also ein [mm] \alpha, [/mm] dass [mm] \lambda [/mm] möglichst klein ist?
Hab ich das richtig verstanden?
Und gibt es dazu einen Trick oder muss ich das durch ausprobieren herausfinden?
Danke schonmal
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Hallo Mathe-Lily,
> Danke erstmal
> Ich hab das jetzt mal probiert mit dem
> Eigenwertberechnen.
> Das ist mein Ergebnis:
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 4 [mm]\alpha \pm \wurzel{16 \alpha^{2} - 15}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Um das zu überprüfen, poste Deine Rechenschritte dazu.
> Und jetzt muss ich doch ein passendes [mm]\alpha[/mm] suchen, damit
> der Spektralradius von I- [mm]\alpha[/mm] T minimal ist.
> Also ein [mm]\alpha,[/mm] dass [mm]\lambda[/mm] möglichst klein ist?
> Hab ich das richtig verstanden?
> Und gibt es dazu einen Trick oder muss ich das durch
> ausprobieren herausfinden?
>
> Danke schonmal
Gruss
MathePower
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Rechenschritte:
det((I- [mm] \alpha [/mm] T) - [mm] \lambda E_{2}) [/mm] = det( [mm] \pmat{ 6 \alpha - \lambda & - \alpha \\ 3 \alpha & 2 \alpha - \lambda }
[/mm]
= (6 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] * (2 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - 3 [mm] \alpha [/mm] * ( - [mm] \alpha)
[/mm]
= 15 [mm] \alpha^{2} [/mm] - 8 [mm] \alpha \lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2}
[/mm]
-> Mitternachtsformel:
[mm] \lambda_{1,2}= [/mm] (8 [mm] \alpha \pm \wurzel{(-8 \alpha )^{2} - 4 * 1 *15} [/mm] ) / (2*1)
= 4 [mm] \alpha \pm \wurzel{16 \alpha^{2} - 15}
[/mm]
Stimmt das so?
Und jetzt muss ich doch ein passendes [mm] \alpha [/mm] suchen, damit
der Spektralradius von I- [mm] \alpha [/mm] T minimal ist.
Also ein [mm] \alpha, [/mm] dass [mm] \lambda [/mm] möglichst klein ist?
Hab ich das richtig verstanden?
Und gibt es dazu einen Trick oder muss ich das durch
ausprobieren herausfinden?
Danke schonmal
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Hallo Mathe-Lily,
> Rechenschritte:
>
> det((I- [mm]\alpha[/mm] T) - [mm]\lambda E_{2})[/mm] = det( [mm]\pmat{ 6 \alpha - \lambda & - \alpha \\ 3 \alpha & 2 \alpha - \lambda }[/mm]
>
Es ist doch die Determinante dieser Matrix zu bilden:
[mm]\red{\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}-}\pmat{6 \alpha - \lambda & - \alpha \\ 3 \alpha & 2 \alpha - \lambda }[/mm]
> = (6 [mm]\alpha[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] * (2 [mm]\alpha[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] - 3 [mm]\alpha[/mm] *
> ( - [mm]\alpha)[/mm]
> = 15 [mm]\alpha^{2}[/mm] - 8 [mm]\alpha \lambda[/mm] + [mm]\lambda^{2}[/mm]
>
> -> Mitternachtsformel:
> [mm]\lambda_{1,2}=[/mm] (8 [mm]\alpha \pm \wurzel{(-8 \alpha )^{2} - 4 * 1 *15}[/mm]
> ) / (2*1)
> = 4 [mm]\alpha \pm \wurzel{16 \alpha^{2} - 15}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
>
> Und jetzt muss ich doch ein passendes [mm]\alpha[/mm] suchen,
> damit
> der Spektralradius von I- [mm]\alpha[/mm] T minimal ist.
> Also ein [mm]\alpha,[/mm] dass [mm]\lambda[/mm] möglichst klein ist?
> Hab ich das richtig verstanden?
> Und gibt es dazu einen Trick oder muss ich das durch
> ausprobieren herausfinden?
>
> Danke schonmal
>
Gruss
MathePower
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hups ^^
danke
dann sieht das bei mir so aus:
det ( [mm] \pmat{ 1-6 \alpha - \lambda & - \alpha \\ -3 \alpha & 1-2 \alpha - \lambda } [/mm] )
= ( 1-6 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \lambda [/mm] ) * ( 1-2 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \lambda [/mm] ) - ( -3 [mm] \alpha [/mm] ) * ( - [mm] \alpha [/mm] )
= [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * (-2 + 8 [mm] \alpha [/mm] ) + 9 [mm] \alpha^{2} [/mm] - 8 [mm] \alpha [/mm] + 1
durch die Mitternachtsformel bekomme ich dann:
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 - 4 [mm] \alpha \pm \alpha \wurzel{7}
[/mm]
stimmt das? oder hab ich mich (mal wieder) vertan?
da darf ja jetzt [mm] \alpha [/mm] nicht 0 sein, da sonst [mm] \lambda [/mm] = 1, was ja nicht kleiner 1 ist, was für die konvergenz zwingend notwendig ist.
und eigentlich müsste dann [mm] \alpha [/mm] besonders groß werden, damit [mm] \lambda [/mm] sehr klein wird, also minimal...
dann würde man einfach die version 1 - 4 [mm] \alpha [/mm] - [mm] \alpha \wurzel{7} [/mm] nehmen und dann wäre [mm] \lambda [/mm] mit einem [mm] \alpha, [/mm] das gegen unenendlich strebt, minimal.
kann man das so sagen?
ich würde mich sehr über hilfe freuen
Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 11.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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