Ito-Isometrie < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\{ W(t) : t \ge 0 \}$ [/mm] eine Brownsche Bewegung und [mm] $\{ F(t) : t \ge 0 \}$ [/mm] die von ihr erzeugte Filtration.
Für [mm]t \ge 0[/mm] sei f(t) = [mm] (1-t)W(t)I_{[0,1)}$ [/mm] Begründe, wieso [mm]f \in M^2 [/mm] und berechne mit der Ito-Isometrie:
[mm] $\bigl |\bigl| \integral_{0}^{\infty}{f(t) dW(t)} \bigl |\bigl|_{L_{2}} [/mm] $ |
Hallo,
also für [mm] f \in M^2 [/mm] muss gelten :
[mm] \mathbb{E} [\integral_{0}^{\infty}{|f(t)|^2 dt}] < \infty [/mm]
das ist aber relativ rasch machbar:
[mm] \mathbb{E} [\integral_{0}^{\infty}{|f(t)|^2 dt}] = \integral_{0}^{\infty}{ \mathbb{E}[|f(t)|^2] dt}] = \integral_{0}^{1}{ \mathbb{E}[W(t)^2(1-t)^2] dt}] = \integral_{0}^{1}{ t(1-2t+t^2) dt}] = \frac{1}{12} < \infty[/mm]
allerdings finde ich wenig zur Ito-Isometrie - da gehts doch quasi darum ein stochastisches Integral wie ein (ganz normales) zu behandeln?
Hätte da jemand einen Tipp?
Liebe Grüße und Dank
Thomas
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Hiho,
die Itô-Isometrie ist eigentlich die Grundlage für die stochastische Integration und solltes du können!
Es gilt:
[mm] $E\left[\left(\integral_0^t f(s) dW_s\right)^2\right] [/mm] = [mm] E\left[\int_0^t f^2(s)ds\right]$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hallo Gono,
Danke für deine Antwort!
Dh. Dann ist das ja einfach nur die Wurzel aus dem Resultat von vorher oder?
Lg Thomas
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Hiho,
> Dh. Dann ist das ja einfach nur die Wurzel aus dem Resultat von vorher oder?
Ja. Eine kurze Begründung in deinen Schritten, warum du Fubini anwenden darfst, wäre übrigens auch angebracht.
Gruß,
Gono
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