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Forum "stochastische Analysis" - Ito Formel - kleine Aufgabe
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Ito Formel - kleine Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Fr 17.03.2023
Autor: Jellal

Guten Abend,

nachdem ich gestern die Ito-Formel kennengelernt habe,
muss ich nun lernen, sie richtig zu benutzen.

Wir sind im 1-dim. Fall.
Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
dX = b(X(t))dt + [mm] \sigma(X(t)) [/mm] dW
und Ito-Lemma
du(X) = (u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] + u'dW, wobei ' fuer [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] steht.

Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE loest:
dY = Y dW,
Y(0)=1.

Die Loesung ist Y(t) = [mm] e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}. [/mm]

Wie komme ich nun dahin?
Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme ich
a) Y'=Y und
b) [mm] Y'b+\bruch{1}{2}Y'' [/mm] = 0.

Aus a) folgt Y(t) = [mm] Ae^{X(t)} [/mm] und A wird so gewaehlt, dass [mm] Y(0)=Ae^{X(0)}=1 [/mm] ist (wofuer wir aber erst X(t) brauchen).

Eingesetzt in b), mit Y'=Y''=Y und [mm] e^{x}>0 [/mm] fuer alle x, erhalten wir [mm] b=-\bruch{1}{2}. [/mm]

Daraus folgt X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + [mm] \hat{\sigma}(X(t))W(t), [/mm] wobei [mm] \hat{\sigma}(X(t)) [/mm] noch unbekannt ist.
Aber wegen X(0)=0 haben wir wenigstens schon A=1, also ist die Loesung
Y(t) = [mm] e^{-\bruch{1}{2}t + \hat{\sigma}(X(t))W(t)}. [/mm]

Woher weiß ich nun, dass [mm] \hat{\sigma}=1 [/mm] ist wie in der genannten Loesung? Irgendwie hat das [mm] \hat{\sigma} [/mm] doch sicher mit [mm] \sigma [/mm] in der Formel fuer dX zu tun, oder?

VG.



        
Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Sa 18.03.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Du arbeitest schlampig und passt nicht auf!

> Wir sind im 1-dim. Fall.
>  Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
>  dX = b(X(t))dt + [mm]\sigma(X(t))[/mm] dW
> und Ito-Lemma
>  du(X) = (u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] + u'dW, wobei ' fuer
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] steht.

Das passt nicht zusammen.
Nach deiner Itô-Formel spielt das [mm] $\sigma$ [/mm] offensichtlich keine Rolle… da kann also was nicht stimmen.
Der Fehler liegt NICHT im Buch, sondern bei dir…

> Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE
> loest:
>  dY = Y dW,
> Y(0)=1.
>  
> Die Loesung ist Y(t) = [mm]e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}.[/mm]
>  
> Wie komme ich nun dahin?
>  Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme
> ich
>  a) Y'=Y und
>  b) [mm]Y'b+\bruch{1}{2}Y''[/mm] = 0.

Von der Idee her richtig, aber doch falsch…
Und auch das liegt daran, dass du nicht sauber aufgeschrieben hast.

Was soll $Y'$ denn sein? Es ist [mm] $Y_t [/mm] = [mm] u(X_t)$. [/mm] Wenn du das nun Ableiten würdest, erhieltest du etwas in der Art [mm] $u'(X_t)X'_t$ [/mm] und wir sind wieder beim Problem die Ableitung eines Zufallsprozesses bilden zu müssen… was soll $X'_t$ überhaupt sein??

Schreibe die Ito-Formel bitte sauber hin als $dY = [mm] \ldots$ [/mm] und vergleiche dann mit $dY = YdW$. Stelle beide Seiten nebeneinander und dann vergleiche die Integralbestandteile.

Poste das hier (sauberer Aufschrieb ist das A und O und dir wird dein Fehler dann selber auffallen!) und dann sehen wir weiter.

Gruß,
Gono



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Bezug
Ito Formel - kleine Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mi 22.03.2023
Autor: Jellal

Hi Gono,

sorry fuer die spaete Reaktion, war etwas abgelenkt von der Sache.

Nach deinem Rueffel habe ich nochmal nachgesehen, und tatsaechlich haben wir an der Stelle im Buch

dX = b(X)dt + dW,

sodass das [mm] \sigma [/mm] gar nicht auftaucht.

Außerdem sollte ich nicht Y' schreiben, sondern nur u' (weil Y ja nur eine Funktion von t ist, und man die Kettenregel braeuchte, wie du sagtest).

Also nochmal:
dX = b(X)dt + dW
Sei Y(t)=u(X(t)).
Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] +u'dW

SDE: dY=YdW, Y(0)=1.

Vergleich mit Ito liefert
u'b + [mm] \bruch{1}{2}u''=0 [/mm] (i)
und
u'=u (ii).

Aus (ii) folgt [mm] u(x)=Ae^{x}. [/mm]
Mit (i) und [mm] e^{x}>0 [/mm] folgt
[mm] b=-\bruch{1}{2}. [/mm]

Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + W(t).

Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.

So in Ordnung?

vG.

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Ito Formel - kleine Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mi 22.03.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Also nochmal:
>  dX = b(X)dt + dW
>  Sei Y(t)=u(X(t)).
>  Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] +u'dW
>  
> SDE: dY=YdW, Y(0)=1.
>  
> Vergleich mit Ito liefert
>  u'b + [mm]\bruch{1}{2}u''=0[/mm] (i)
>  und
>  u'=u (ii).

[ok]

> Aus (ii) folgt [mm]u(x)=Ae^{x}.[/mm]
>  Mit (i) und [mm]e^{x}>0[/mm] folgt
>  [mm]b=-\bruch{1}{2}.[/mm]

Nur wenn du hier bereits weißt, dass [mm] $A\not= [/mm] 0$ ist, was du aber erst später zeigst.
Es könnte (bisher) ja auch $A=0$ gelten, dann wäre b beliebig.

> Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
>  X(t) = [mm]-\bruch{1}{2}t[/mm] + W(t).
>  
> Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.

[ok]
  

> So in Ordnung?

Prüfst du die Anfangsbedingung vor der Bestimmung von b, passt alles so.

Gruß,
Gono

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Ito Formel - kleine Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mi 22.03.2023
Autor: Jellal

Danke dir, Gono!!

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