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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Fr 17.03.2023 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
nachdem ich gestern die Ito-Formel kennengelernt habe,
muss ich nun lernen, sie richtig zu benutzen.
Wir sind im 1-dim. Fall.
Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
dX = b(X(t))dt + [mm] \sigma(X(t)) [/mm] dW
und Ito-Lemma
du(X) = (u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] + u'dW, wobei ' fuer [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] steht.
Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE loest:
dY = Y dW,
Y(0)=1.
Die Loesung ist Y(t) = [mm] e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}.
[/mm]
Wie komme ich nun dahin?
Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme ich
a) Y'=Y und
b) [mm] Y'b+\bruch{1}{2}Y'' [/mm] = 0.
Aus a) folgt Y(t) = [mm] Ae^{X(t)} [/mm] und A wird so gewaehlt, dass [mm] Y(0)=Ae^{X(0)}=1 [/mm] ist (wofuer wir aber erst X(t) brauchen).
Eingesetzt in b), mit Y'=Y''=Y und [mm] e^{x}>0 [/mm] fuer alle x, erhalten wir [mm] b=-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Daraus folgt X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + [mm] \hat{\sigma}(X(t))W(t), [/mm] wobei [mm] \hat{\sigma}(X(t)) [/mm] noch unbekannt ist.
Aber wegen X(0)=0 haben wir wenigstens schon A=1, also ist die Loesung
Y(t) = [mm] e^{-\bruch{1}{2}t + \hat{\sigma}(X(t))W(t)}.
[/mm]
Woher weiß ich nun, dass [mm] \hat{\sigma}=1 [/mm] ist wie in der genannten Loesung? Irgendwie hat das [mm] \hat{\sigma} [/mm] doch sicher mit [mm] \sigma [/mm] in der Formel fuer dX zu tun, oder?
VG.
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Hiho,
vorweg: Du arbeitest schlampig und passt nicht auf!
> Wir sind im 1-dim. Fall.
> Das Buch benutzt die Notation Y(t):=u(X(t)), mit
> dX = b(X(t))dt + [mm]\sigma(X(t))[/mm] dW
> und Ito-Lemma
> du(X) = (u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] + u'dW, wobei ' fuer
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] steht.
Das passt nicht zusammen.
Nach deiner Itô-Formel spielt das [mm] $\sigma$ [/mm] offensichtlich keine Rolle… da kann also was nicht stimmen.
Der Fehler liegt NICHT im Buch, sondern bei dir…
> Wir suchen nun die Funktion Y(t), welche die folgende SDE
> loest:
> dY = Y dW,
> Y(0)=1.
>
> Die Loesung ist Y(t) = [mm]e^{-\bruch{t}{2} + W(t)}.[/mm]
>
> Wie komme ich nun dahin?
> Wenn ich dY=YdW mit der Ito-Formel vergleiche, bekomme
> ich
> a) Y'=Y und
> b) [mm]Y'b+\bruch{1}{2}Y''[/mm] = 0.
Von der Idee her richtig, aber doch falsch…
Und auch das liegt daran, dass du nicht sauber aufgeschrieben hast.
Was soll $Y'$ denn sein? Es ist [mm] $Y_t [/mm] = [mm] u(X_t)$. [/mm] Wenn du das nun Ableiten würdest, erhieltest du etwas in der Art [mm] $u'(X_t)X'_t$ [/mm] und wir sind wieder beim Problem die Ableitung eines Zufallsprozesses bilden zu müssen… was soll $X'_t$ überhaupt sein??
Schreibe die Ito-Formel bitte sauber hin als $dY = [mm] \ldots$ [/mm] und vergleiche dann mit $dY = YdW$. Stelle beide Seiten nebeneinander und dann vergleiche die Integralbestandteile.
Poste das hier (sauberer Aufschrieb ist das A und O und dir wird dein Fehler dann selber auffallen!) und dann sehen wir weiter.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 22.03.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
sorry fuer die spaete Reaktion, war etwas abgelenkt von der Sache.
Nach deinem Rueffel habe ich nochmal nachgesehen, und tatsaechlich haben wir an der Stelle im Buch
dX = b(X)dt + dW,
sodass das [mm] \sigma [/mm] gar nicht auftaucht.
Außerdem sollte ich nicht Y' schreiben, sondern nur u' (weil Y ja nur eine Funktion von t ist, und man die Kettenregel braeuchte, wie du sagtest).
Also nochmal:
dX = b(X)dt + dW
Sei Y(t)=u(X(t)).
Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm] \bruch{1}{2}u'')dt [/mm] +u'dW
SDE: dY=YdW, Y(0)=1.
Vergleich mit Ito liefert
u'b + [mm] \bruch{1}{2}u''=0 [/mm] (i)
und
u'=u (ii).
Aus (ii) folgt [mm] u(x)=Ae^{x}.
[/mm]
Mit (i) und [mm] e^{x}>0 [/mm] folgt
[mm] b=-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
X(t) = [mm] -\bruch{1}{2}t [/mm] + W(t).
Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.
So in Ordnung?
vG.
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Hiho,
> Also nochmal:
> dX = b(X)dt + dW
> Sei Y(t)=u(X(t)).
> Ito Formel: dY=du=(u'b + [mm]\bruch{1}{2}u'')dt[/mm] +u'dW
>
> SDE: dY=YdW, Y(0)=1.
>
> Vergleich mit Ito liefert
> u'b + [mm]\bruch{1}{2}u''=0[/mm] (i)
> und
> u'=u (ii).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aus (ii) folgt [mm]u(x)=Ae^{x}.[/mm]
> Mit (i) und [mm]e^{x}>0[/mm] folgt
> [mm]b=-\bruch{1}{2}.[/mm]
Nur wenn du hier bereits weißt, dass [mm] $A\not= [/mm] 0$ ist, was du aber erst später zeigst.
Es könnte (bisher) ja auch $A=0$ gelten, dann wäre b beliebig.
> Aus der Formel fuer dX folgt dann mit Integration
> X(t) = [mm]-\bruch{1}{2}t[/mm] + W(t).
>
> Aus der Anfangsbedingung folgt A=1.
> So in Ordnung?
Prüfst du die Anfangsbedingung vor der Bestimmung von b, passt alles so.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 22.03.2023 | | Autor: | Jellal |
Danke dir, Gono!!
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