JNF,Charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten morgen euch allen... 
Ich hab in einer Aufgabe eine 4x4-Matrix gegeben un dmuss derren JNF bestimmen... Dazu muss ich ja zunächts das Char.Polynom ausrechnen...
Die Matrix (A - [mm] \lambda [/mm] E4) lautet:
[mm] \pmat{ -\lambda & -1 & -1 & -1 \\ 0 & (2 - \lambda) & -1 & 1 \\ 1 & 1 & (2 - \lambda) & 1 \\ 0 & -1 & -1 & (-\lambda) }
[/mm]
Also davon Determinante bestimmen
Da hab ich jetzt folgendes raus...:
[mm] \lambda^{4} [/mm] - 8 [mm] \lambda^{3} [/mm] + 8 [mm] \lambda^{2} [/mm] - 8 [mm] \lambda [/mm] + 3
Könnte jemand so nett und sich die mÜhe machen, das nachzurechnen... Ich hab zwei-mal nachgerechnet, aber keinen Fehler gfunden... Komisch bei diesen Ergebnis ist, dass in den bisherigen Übungsaufgaben immer Polynome rauskamen, wo man zumindest direkt eine Nullstelle sehen konnte, um die restlichen leicht ausrechnen zu können. Hier sehe ich aber leider nix...
Schöne Grüße, Fabian
|
|
| |
|
Bonjour!
Also, ich hab' das ganze einmal nachgerechnet und komme auf folgendes charakteristisches Polynom:
- [mm] \lambda [/mm] ((2 - [mm] \lambda) [/mm] (1 - (2 - [mm] \lambda) \lambda) [/mm] - 2 [mm] \lambda [/mm] + 2) - (2 - [mm] \lambda) \lambda [/mm] - 2 [mm] \lambda [/mm] + 3
Vielleicht hilft dir die faktorisierte Darstellung ja ein wenig bei der Nullstellensuche... 
À bientôt,
jeu blanc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Sa 17.06.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
habe es auch einmal nachgerechnet und komme auf folgendes Polynom:
= [mm] X^{4} [/mm] - [mm] 4X^{3} [/mm] + [mm] 8X^{2} [/mm] - 8X + 3
und da kann man dann ganz gut eine Nullstelle ablesen.
Beste Grüße
Vicky
|
|
|
| |
|
> Bonjour!
>
> Also, ich hab' das ganze einmal nachgerechnet und komme auf
> folgendes charakteristisches Polynom:
>
> - [mm]\lambda[/mm] ((2 - [mm]\lambda)[/mm] (1 - (2 - [mm]\lambda) \lambda)[/mm] - 2
> [mm]\lambda[/mm] + 2) - (2 - [mm]\lambda) \lambda[/mm] - 2 [mm]\lambda[/mm] + 3
>
> Vielleicht hilft dir die faktorisierte Darstellung ja ein
> wenig bei der Nullstellensuche...
>
Danke erstmal für die Mühe, jeu_blanc
Nur, hab immernoch ein Problem:
Also: Bei deinem char. Polynom kommt als Nullstellle z.B. 1 raus, das sieht man... Bei mir nicht, also hab ich vielelicht irgendwo einen Rechenfehler eingebaut, den ich aber nicht finde; Ich schreibe hier mal meinen Rechenweg auf, vielleicht siehst du oder ein anderer den fehler, den ich gemacht habe:
Also: det A mit A= [mm] \pmat{ -\lambda & -1 & -1 & -1 \\ 0 & (2 - \lambda) & -1 & 1 \\ 1 & 1 & (2 - \lambda) & 1 \\ 0 & -1 & -1 & (-\lambda) } [/mm] bestimmen:
Dann wollteich nach erster Spalte entwickeln (laplace), weil drt 2 Nullen vorkommen:
Also det A = [mm] (-\lambda) \pmat{ (2-\lambda) & -1 & 1 \\ 1 & (2-\lambda) & 1 \\ -1 & -1 & (-\lambda) } [/mm] + 1 [mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 \\ (2-\lambda) & -1 & 1 \\ -1 & -1 & (-\lambda) }
[/mm]
Das habeich jeztt mit Sarrus ausgerechnet:
det A = [mm] (-\lambda) [/mm] ( ( 4- 8 [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2} [/mm] ) [mm] (-\lambda) [/mm] + 1 -1 [mm] -\lambda [/mm] + [mm] (2-\lambda) [/mm] + [mm] (2-\lambda) [/mm] )
+ ( -2 [mm] \lambda [/mm] + 3 - [mm] \lambda [/mm] (2- [mm] \lambda) [/mm] )
= [mm] \lambda^{4} [/mm] - 8 [mm] \lambda^{3} [/mm] + 8 [mm] \lambda^{2} [/mm] - 8 [mm] \lambda [/mm] + 3
HOffe, irgendwer findet meinen Fehler
Gruß, Fabian
EDIT:
Hab meinen Fehler gefunden... Wie blöd war das denn... :) [mm] (2-\lambda)^{2} [/mm] = 4 - [mm] 4\lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2} [/mm] und nicht 4- 8 [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2} [/mm]
Danke für eure Hilfe
Gruß Fabian
|
|
|
|
