JNF verallg. EV < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 17.05.2013 | | Autor: | sigmar |
Ich hab noch nicht ganz verstanden wie wir die Matrix Q aufstellen mit der wir A in eine JNF umformen können. [mm] (Q^{-1}AQ [/mm] = J)
Der erste Schritt scheint zu sein einen Eigenvektor aus J zu bestimmen und diesen als Startvektor zu nehmen, sodass wir daraus algorithmisch die weiteren Vektoren errechnen können, welche schließlich Q bilden.
Das klappt wohl auch wunderbar wenn J nur einen Eigenvektor hat, aber was passiert wenn es mehrere gibt? Gehe ich recht in der Annahme, dass wir diese dann auch als Spaltenvektoren für Q benutzen können und entsprechend weniger verallgemeinerte EV berechnen müssen?
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hallo
ein Beispiel:
A= [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 2 & -9 & 8 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} [/mm] reelle 4x4-Matrix, dessen charpoly. [mm] cp_A(x)=(x-2)^2(x+2)^2 [/mm] ist. Also doppelte EIgenwerte 2 und -2 hat.
Jetzt berchnet man den Eigenraum und den verallgeminerten Eigenraum einmal zum Eigenwert2 und zum Eigenwert -2.
Ker((A-2*Id)), [mm] Ker((A-2*Id)^2) [/mm] und Ker((A+2*Id)), [mm] Ker((A+2*Id)^2). [/mm] Hier ist dim [mm] Ker((A-2*Id))=1
Dann geht man wie folgt vor:
zum Eigenwert 2: Man nimmt sich ein Vektor aus dem höchsten Kern, der nicht in dem davor liegt, dh [mm] v_1\in Ker((A-2*Id)^2)\backslash [/mm] Ker((A-2*Id)). Dann berechnet man sich daraus den 2. Vektor: [mm] (A-2*Id)*v_1=v_2 [/mm]
dann ist man zum Eigenwert 2 aus Dimensionsgründen und weil [mm] (A-2*id)^3=0 [/mm] wäre fertig.
Dann zum Eigenwert -2 würde man das analoge separat machen: man wählt sich als erstes [mm] v_3\in Ker((A+2*Id)^2)\backslash [/mm] Ker((A+2*Id)) und linear unabhängig zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
Dann berechnet man [mm] (A+2*Id)*v_3=v_4 [/mm] , wenn dim Ker((A+2*Id))<dim [mm] Ker((A+2*Id)^2) [/mm] wäre.
Nur hier ist jetzt in dem Beispiel dim Ker((A+2*Id))=dim [mm] Ker((A+2*Id)^2)=2. [/mm] Dh wenn du was aus dem oberen Kern [mm] (v_3) [/mm] nehmen willst, liegt der auch in dem unteren, das heisst du kannstd as hier so nicht machen. Dh. du nimmst eine Basis des Kerns(A+2*Id) [mm] {v_3, v_4} [/mm] und hast dann deine Vektoren.
Jetzt ahst du insgesamt eine Basis des [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] ,
wenn ihr die Einsen in der Jordannormalform unterhalb der Diagonalen habt: [mm] (v_1,v_2,v_3,v_4) [/mm] und wenn ihr die Einsen oberhalb der Diagonalen habt [mm] (v_2,v_1,v_4,v_3) [/mm] (die Reihenfolge ist dann umgedreht).
In der Reihenfolge schreibst du die Vektoren spaltenweise in die Matrix Q, deienr Transformationsmatrix.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 21.05.2013 | | Autor: | sigmar |
Danke schonmal für deine Antwort, allerdings muss ich sagen, dass mich diese erstmal verwirrt. In meinem Skript seht z.B. nicht wie ich den Startvektor bestimme, sondern nur dass wenn ich diesen habe, daraus eine Kette von verallg. EV bestimmen kann.
Auch die ganzen Dimensionsvergleiche und Kern/Kern kann ich bei mir nicht finden. Hast du evtl einen guten Link für mich in dem ich das nachlesen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für deine Antwort, allerdings muss ich
> sagen, dass mich diese erstmal verwirrt. In meinem Skript
> seht z.B. nicht wie ich den Startvektor bestimme, sondern
> nur dass wenn ich diesen habe, daraus eine Kette von
> verallg. EV bestimmen kann.
> Auch die ganzen Dimensionsvergleiche und Kern/Kern kann
> ich bei mir nicht finden. Hast du evtl einen guten Link
> für mich in dem ich das nachlesen kann?
Bitte:
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
FRED
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