Jakobi-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] die Abbildung
F(x,y) = [mm] (x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] , -2xy, log (1 + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}))
[/mm]
(i) bestimmen sie die jacobi-Matrix von F in (x,y) element [mm] \IR^{2}. [/mm] Ist F auf [mm] \IR^{2} [/mm] diff'bar?
(ii) bestimmen sie die richtungableitungen im Punkt (1,0) element [mm] \IR^{2} [/mm] in Richtung [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] (1,2). |
Guten morgen...
Wäre nett, wenn mir jemand zu diesen, glaube ich, leichten Aufgaben ein paar Tipps bzw Erklärungen geben kann. Wie man ueberhaupt eine Jakobi-Matrix bestimmt. Irgendwie hab ich da noch cnith so den Überblick...;) Bin dankbar für jede Hilfe, sollte ja fuer euch machbar sein...:)
Gruß, Fabian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Do 15.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Fabian,
und ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei F: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR^{3}[/mm] die Abbildung
>
> F(x,y) = [mm](x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] , -2xy, log (1 + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}))[/mm]
damit hast du ja schon [mm] F(x,y)=\vektor{x²-y²\\-2xy\\log(1+x²+y²)}
[/mm]
> (i) bestimmen sie die jacobi-Matrix von F in (x,y) element
> [mm]\IR^{2}.[/mm] Ist F auf [mm]\IR^{2}[/mm] diff'bar?
> (ii) bestimmen sie die richtungableitungen im Punkt (1,0)
> element [mm]\IR^{2}[/mm] in Richtung [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] (1,2).
> Guten morgen...
> Wäre nett, wenn mir jemand zu diesen, glaube ich, leichten
> Aufgaben ein paar Tipps bzw Erklärungen geben kann. Wie man
> ueberhaupt eine Jakobi-Matrix bestimmt. Irgendwie hab ich
> da noch cnith so den Überblick...;) Bin dankbar für jede
> Hilfe, sollte ja fuer euch machbar sein...:)
jetzt bildest du die partiellen Ableitungen und setzt sie entsprechend in folgende Matrix ein.
[mm] J=Df(x,y)=\pmat{ \bruch{ \partial f_1}{ \partial x} & \bruch{\partial f_1}{ \partial y} \\ \bruch{\partial f_2}{ \partial x} & \bruch{\partial f_2}{ \partial y} \\ \bruch{\partial f_3}{ \partial x} & \bruch{\partial f_3}{ \partial y} }
[/mm]
entsprechende Werte für x und y wurden dir dann ja anschließend vorgegeben - viel Spaß beim Rechnen.
Liebe Grüße
Herby
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Danke für die Erklärung und Begrüßung... :)
Ich hab jetzt die Jakobi-Matrix ausgerechnet. UNd zwar hab ich folgende Matrix raus:
[mm] \pmat{ 2x & -2y \\ -2y & -2x \\ \bruch{2x}{1+x^{2}+y^{2}} & \bruch{2y}{1+x^{2}+y^{2}} }
[/mm]
Ist das korrekt?
Jetzt noch eine was zur Richtungableitung:
Unter der Richtungableitung von f im Punkt x in Richtung v versteht man (im Fall der Existenz) den Diff'quotienten:
Dv f (x) = [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] f (x + t v) eingeschränkt auf t=0
= [mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{f(x + tv) - f (x)}{t}
[/mm]
Muss ich da jetzt für v diese vorgegebene Richtung [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] (1,2) einstzen und für x (1,0) einsetzen? Ist dann diser GRenzwert eben die gesuchte Richtungableistung? Danke für weitere Hilfe shconmal im voraus...:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
dann werde ich mich mal ans Lesen machen 
Liebe Grüße
Herby
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Mahlzeit euch allen...:)
Kann mir jemand erklären, wie man in eienr bestimmten Richtung ableitet. Am besten am folgenden Beispiel:
Sei diese Funktion gegeben: [mm] F(x,y)=\vektor{x²-y²\\-2xy\\log(1+x²+y²)}
[/mm]
Was ist die richtungsableitung im Punkt (1,0) in Richtung [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] (1,2) ???
Muss man nicht dafür folgenden Limes betrachten?
[mm] \limes_{t\rightarrow\0} \bruch{f(x + tv) - f (x)}{t} [/mm]
und der Grenzwert ist die gesuchte Ableitung? Wäre sehr dankbar für jede Hilfe...
Gruß, Fabian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 15.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Fabian,
bitte keine Doppelpostings hier im Forum - deine andere Frage ist noch offen und wird, wenn sich denn jemand findet, der das Thema beherrscht und Zeit und Lust hat diese zu beantworten, auch beantwortet.
Liebe Grüße
Herby
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Oh, tut mir leid...^^ wird nciht wieder vorkommen...
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Also, Richtungsableitung berechnet man am einfachsten, wenn man Gradienten mit der Richtung multipliziet, also Skalarprodukt oder AMtrixmulriplikation druchführt. Jacobi-Matrix hast Du schon, also mache einfach: J*r (Jacobi*Richtung)
Ich hoffe es ist richtig :-(
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Danke, ich glaube, das ist richtig, was da steht... Musste ja gestern den ZEttel abgeben, und bei deine Rechnung kommt glaube ich, das gleiche raus, wenn ich mich richtig erinnere...
Schöne Grüße, Fabian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Fabian,
ich bin zu folgender Lösung gekommen:
die Richtungsableitung r berechnet sich aus
[mm] \bruch{\partial \phi(x,y)}{\partial \vec{a}}=\bruch{1}{|\vec{a}|}*(grad \phi(x,y))*\vec{a}
[/mm]
[mm] \phi(x,y)=\vektor{x²-y²\\-2xy\\ln(1+x²+y²)} [/mm] ----> [mm] grad\phi(x,y)=\vektor{2x && -2y\\-2y && -2x\\\bruch{2x}{1+x²+y²} && \bruch{2y}{1+x²+y²}}
[/mm]
mit P(1|0) erhalte ich [mm] grad\phi(1,0)=\vektor{2 && 0 \\ 0 && -2 \\ 1 && 0}
[/mm]
[mm] |\vec{a}|=\vmat{\bruch{1}{\wurzel{5}}*\vektor{1\\2}}=\vmat{\vektor{\bruch{1}{\wurzel{5}\\\bruch{2}{\wurzel{5}}}}}=\wurzel{\vektor{\bruch{1}{\wurzel{5}}}^2+\vektor{\bruch{2}{\wurzel{5}}}^2}=\wurzel{\bruch{1}{5}+\bruch{4}{5}}=1
[/mm]
wenn man das in die obiger Formel einsetzt, erhält man:
[mm] \bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial\vec{a}}=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\vektor{2&&0\\0&&-2\\1&&0}\*\vektor{1\\2}=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\vektor{2\\-4\\1}
[/mm]
da ich aber nicht sehr bewandert in diesem Thema bin, kann ich nur hoffen, dass das so stimmt
Wenn du die eigentliche Lösung hast, dann kannst du dich ja mal dazu äußern.
Ich lerne gerne dazu 
Liebe Grüße
Herby
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Hi, Herby
Danke, das du dir die Mühe gemacht hast... Also ich hab das auch so gemacht und komme auf das gleiche Ergebnis... Scheint also okay zu sein...
Habs jetzt auch vollständig verstanden...
Schöne Grüße
Fabian
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, ich bin mir nicht sicher, da das schon verfluxt lange her ist, dass ich das mal gemacht habe (mind. 3 Wochen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
) und ich hab hier auch nix zum nachlesen.
