Jakobi-Matrix bestimmen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:01 So 05.12.2010 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | | Ich habe eine Implementierung eines Levenberg-Marquardt Algorithmus gefunden, der die folgende Form zur Berechnung der Jakobi-Matrix benutzt. |
Die Jakobi-Matrix sieht wie folgt aus: J = [mm] \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial h_1} & \frac{\partial f_1}{\partial h_2} & \frac{\partial f_1}{\partial h_3} \\
\frac{\partial f_2}{\partial h_1} & \frac{\partial f_2}{\partial h_2} & \frac{\partial f_2}{\partial h_3}\\
\frac{\partial f_3}{\partial h_1} & \frac{\partial f_3}{\partial h_2} & \frac{\partial f_3}{\partial h_3}
\end{bmatrix}
[/mm]
Die Ableitungen würde ich z.B. wie folgt berechnen: [mm] \frac{\partial f_1}{\partial h_2} [/mm] =
[mm] \frac{f_1\left ( \mathbf{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ h_2\\ 0\end{pmatrix}}\right ) - f_1(\mathbf{x})}{h_2}
[/mm]
Allerdings wird folgende Version im Algorithmus benutzt: [mm] \frac{\partial f_1}{\partial h_2} [/mm] =
[mm] \frac{f_1\left ( \mathbf{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h_1\\ h_2\\ h_3\end{pmatrix}}\right ) - f_1(\mathbf{x})}{h_2}
[/mm]
Was dann zu Folgendem führt: J = [mm] \begin{bmatrix}
\frac{f_1(\mathbf{x+h}) - f_1(\mathbf{x})}{h_1} & \frac{f_1(\mathbf{x+h}) - f_1(\mathbf{x})}{h_2} & \frac{f_1(\mathbf{x+h}) - f_1(\mathbf{x})}{h_3}\\
\frac{f_2(\mathbf{x+h}) - f_2(\mathbf{x})}{h_1} & \frac{f_2(\mathbf{x+h}) - f_2(\mathbf{x})}{h_2} & \frac{f_2(\mathbf{x+h}) - f_2(\mathbf{x})}{h_3}\\
\frac{f_3(\mathbf{x+h}) - f_3(\mathbf{x})}{h_1} & \frac{f_3(\mathbf{x+h}) - f_3(\mathbf{x})}{h_2} & \frac{f_3(\mathbf{x+h}) - f_3(\mathbf{x})}{h_3}
\end{bmatrix}
[/mm]
Kennt jemand diese Art der Ableitung? Wenn das gut funktioniert spart man sich einiges an Arbeit, weil man nur 3 Differenzen anstelle von 9 bestimmen muss. Allerdings ist die ABleitung mMn nicht wikrlich korrekt (mathematisch gesehen).
Für Hilfe wäre ich wirklich dankbar.
Moritz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 09.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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