Jakobimatrix < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Seien X [mm] \subset \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{m} [/mm] offen und f:X [mm] \to \IR^{m} [/mm] stetig differenzierbar. Untersuchen Sie für welche Punkte (x,y) [mm] \in [/mm] X die Funktion [mm] \Phi:X \to \IR^{n} [/mm] x [mm] \IR^{m} [/mm] , definiert durch
[mm] \phi(x,y):= [/mm] (x,f(x,y))
lokal invertierbar ist. |
Bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem mit der Jakobimatrix. Sieht die etwa wie folgt aus?
x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} }
[/mm]
[mm] \pmat{ \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} & \vektor{0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0} & \cdots & \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1} \\ \partial f & \partial f & \cdots & \partial f } [/mm] wobei [mm] \partial [/mm] f = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Irgendwie sieht das falsch aus. Oder??
Liebe Grüße
Joan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Sa 15.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Joan!
> Seien X [mm]\subset \IR^{n}[/mm] x [mm]\IR^{m}[/mm] offen und f:X [mm]\to \IR^{m}[/mm]
> stetig differenzierbar. Untersuchen Sie für welche Punkte
> (x,y) [mm]\in[/mm] X die Funktion [mm]\Phi:X \to \IR^{n}[/mm] x [mm]\IR^{m}[/mm] ,
> definiert durch
>
> [mm]\phi(x,y):=[/mm] (x,f(x,y))
>
> lokal invertierbar ist.
> Bei dieser Aufgabe habe ich ein Problem mit der
> Jakobimatrix. Sieht die etwa wie folgt aus?
>
> x = [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} & \vektor{0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0} & \cdots & \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1} \\ \partial f & \partial f & \cdots & \partial f }[/mm]
> wobei [mm]\partial[/mm] f = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
> Irgendwie sieht das falsch aus. Oder??
Ja 
Ich weiss auch nicht, wie ich deine Notation verstehen soll...
Überlege dir mal Folgendes: wie du schon richtig festgestellt hast, hat x die Form
[mm]x = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} }[/mm]
Analog ist
[mm] y= \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} }[/mm]
und
[mm] f(x,y)= \vektor{f_{1}(x,y) \\ f_{2}(x,y) \\ \vdots \\ f_{m}(x,y) }[/mm]
Die Funktion
[mm] \phi(x,y) = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ f_{1}(x,y) \\ f_{2}(x,y) \\ \vdots \\ f_{m}(x,y) }[/mm]
geht von [mm]\IR^{n} \times\IR^{m}[/mm] nach [mm]\IR^{n} \times\IR^{m}[/mm], also muss die Jacobimatrix eine [mm] $(n+m)\times(n+m)$-Matrix [/mm] sein.
Jetzt schreibe dir die Elemente dieser Matrix hin.
Tipp: sie zerfällt in vier getrennte Blöcke.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Danke für den guten Tipp. Sieht die Jakobimatrix dann ungefähr so aus:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D }
[/mm]
A = Ableitungen nach [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n}
[/mm]
B = Ableitungen von [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm] nach [mm] f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}), [/mm] ... [mm] f(x_{m}, y_{m}) [/mm]
C = Ableitungen von [mm] f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}), [/mm] ... [mm] f(x_{m}, y_{m}) [/mm] nach [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... [mm] x_{n} [/mm]
D = Ableitungen von [mm] f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}), [/mm] ... [mm] f(x_{m}, y_{m}) [/mm] nach [mm] f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}), [/mm] ... [mm] f(x_{m}, y_{m})
[/mm]
[mm] \pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ f'_{1}(x_{1},y) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & f'_{m}(x_{m},y)}
&
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
}
[/mm]
Macht das jetzt schon mehr Sinn?
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> Danke für den guten Tipp. Sieht die Jakobimatrix dann
> ungefähr so aus:
>
> [mm]\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm]
>
> A = Ableitungen nach [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ... [mm]x_{n}[/mm]
>
> B = Ableitungen von [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ... [mm]x_{n}[/mm] nach [mm]f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}),[/mm]
> ... [mm]f(x_{m}, y_{m})[/mm]
>
> C = Ableitungen von [mm]f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}),[/mm] ...
> [mm]f(x_{m}, y_{m})[/mm] nach [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ... [mm]x_{n}[/mm]
>
> D = Ableitungen von [mm]f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}),[/mm] ...
> [mm]f(x_{m}, y_{m})[/mm] nach [mm]f(x_{1}, y_{1}), f(x_{2}, y_{2}),[/mm] ...
> [mm]f(x_{m}, y_{m})[/mm]
>
>
>
> [mm]\pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ f'_{1}(x_{1},y) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & f'_{m}(x_{m},y)}
&
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}hö
}[/mm]
>
>
> Macht das jetzt schon mehr Sinn?
Die Funktionen [mm]f_{k}[/mm] sind doch abhängig von [mm]x_{1}, \ \dots \ , x_{n},\ y_{1}, \ \dots \ ,y_{m}[/mm]
Dann stimmen die unteren beiden Matrizen nicht.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 16.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Ich bin mir unsicher. Stimmt die Matrix dann, wenn ich sie so schreibe:
[mm] \pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}
&
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}
} [/mm]
Liebe Grüße
Joan
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> Ich bin mir unsicher. Stimmt die Matrix dann, wenn ich sie
> so schreibe:
>
> [mm]\pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}
&
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}
}[/mm]
>
So wie die Jacobi-Matrix da steht, sind die [mm]f_{i}, \ 1 \le i \le m, \ i \in \IN[/mm] nur von [mm]x_{i}, \ y_{i}[/mm] abhängig.
[mm]f_{i}\left(\right)[/mm] hat als Argument [mm]x,y[/mm], wobei
[mm]x= \pmat{x_{1} & \dots &x_{n}}^{T}[/mm]
und
[mm]y=\pmat{y_{1} & \dots & y_{m}}^{T}[/mm]
ist.
Demnach müssen sich die partiellen Ableitungen [mm]\bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}, \ 1 \le k \le n, \ k \in \IN[/mm]
und [mm]\bruch{\partial f_{i}}{\partial y_{l}}, \ 1 \le l \le m, \ l \in \IN[/mm] in der Jacobi-Matrix wiederfinden.
>
> Liebe Grüße
> Joan
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 16.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Diese Ableitung macht mich so durcheinander :(
Dass heißt, ich müsste dann doch nur die letzten Ableitungen umändern zu:
[mm] \pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}
&
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{i}}{\partial y_{l}}}
} [/mm]
Hab ich es jetzt verstanden oder liege ich da wieder falsch??
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> Diese Ableitung macht mich so durcheinander :(
> Dass heißt, ich müsste dann doch nur die letzten
> Ableitungen umändern zu:
>
> [mm]\pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}
&
\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \bruch{\partial f_{i}}{\partial y_{l}}}
}[/mm]
>
> Hab ich es jetzt verstanden oder liege ich da wieder
> falsch??
Die [mm]f_{k}, \ 1 \le k \le m[/mm] sind Funktionen von [mm]x_{1}, \ \dots \, x_{n}, \ y_{1}, \ \dots \ , y_{m}[/mm]
Demnach
[mm] \phi(x,y) = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ f_{1}(x,y) \\ f_{2}(x,y) \\ \vdots \\ f_{m}(x,y) } = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ f_{1}(x_{1}, \ \dots \, x_{n}, \ y_{1}, \ \dots \ , y_{m}) \\ f_{2}(x_{1}, \ \dots \, x_{n}, \ y_{1}, \ \dots \ , y_{m}) \\ \vdots \\ f_{m}(x_{1}, \ \dots \, x_{n}, \ y_{1}, \ \dots \ , y_{m}) }=\phi(x_{1}, \ \dots \, x_{n}, \ y_{1}, \ \dots \ , y_{m}) [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:04 So 16.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Dann ist die Jakobimatrix sehr groß, oder? Wenn ich [mm] f_{1}(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}, y_{1}, [/mm] ..., [mm] y_{m}) [/mm] ableite, kommt doch raus:
[mm] \pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0} &
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
} [/mm]
Falls das so sein sollte, dann hätte ich m-mal diese Matrizen, da es bis [mm] f_{m} [/mm] geht?
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> Dann ist die Jakobimatrix sehr groß, oder? Wenn ich
> [mm]f_{1}(x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n}, y_{1},[/mm] ..., [mm]y_{m})[/mm] ableite, kommt
> doch raus:
>
>
> [mm]\pmat{
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
&
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0}
\\
\pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0} &
\pmat{ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1}
}[/mm]
>
> Falls das so sein sollte, dann hätte ich m-mal diese
> Matrizen, da es bis [mm]f_{m}[/mm] geht?
Nein.
Die oberen beiden Matrizen stimmen, nur die unteren nicht.
Die unteren Matrizen sind Matrizen mit den partiellen Ableitungen der [mm]f_{i}, \ 1 \le i \le m[/mm] nach allen Variablen [mm]x_{k}, y_{l}, \ 1 \le k \le n, \ 1 \le l \le m[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
"Die unteren Matrizen sind Matrizen mit den partiellen Ableitungen der [mm]f_{i}, \ 1 \le i \le m[/mm] nach allen Variablen [mm]x_{k}, y_{l}, \ 1 \le k \le n, \ 1 \le l \le m[/mm]"
Genau das hab ich versucht. Stellt die zuletzt dargestellte Matrix nicht die Ableitung von [mm] f_{1} [/mm] dar? Ich bin jetzt total verwirrt :( Und m-mal dieser Matrizen würde dann in der Jakobimatrix C (siehe 2.Frage) darstellen, d.h. C wäre eine Matrix mit ganz vielen Matrizen ????
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> "Die unteren Matrizen sind Matrizen mit den partiellen
> Ableitungen der [mm]f_{i}, \ 1 \le i \le m[/mm] nach allen Variablen
> [mm]x_{k}, y_{l}, \ 1 \le k \le n, \ 1 \le l \le m[/mm]"
>
> Genau das hab ich versucht. Stellt die zuletzt dargestellte
> Matrix nicht die Ableitung von [mm]f_{1}[/mm] dar? Ich bin jetzt
> total verwirrt :( Und m-mal dieser Matrizen würde dann in
> der Jakobimatrix C (siehe 2.Frage) darstellen, d.h. C wäre
> eine Matrix mit ganz vielen Matrizen ????
>
Nein, das ist nur eine einzige große Matrix, nämlich mit n+m Zeilen und n+m Spalten.
Die erste Zeile der unteren Matrix (die (n+1). Zeile der großen Matrix) sieht wie folgt aus:
[mm]\pmat{ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \dots & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Ich habe mir mal ein Beispiel gemacht:
[mm] \vektor{ x_{1}\\ x_{2} \\ f_{1}(x_{1},x_{2}, y_{1}, y_{2}) \\ f_{2}(x_{1},x_{2}, y_{1}, y_{2}) }
[/mm]
Die Ableitung davon wäre:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}& \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{2}} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}}
}
[/mm]
Oder? Bitte sag ja :(
|
|
|
| |
|
Hallo Joan2,
> Ich habe mir mal ein Beispiel gemacht:
>
> [mm]\vektor{ x_{1}\\ x_{2} \\ f_{1}(x_{1},x_{2}, y_{1}, y_{2}) \\ f_{2}(x_{1},x_{2}, y_{1}, y_{2}) }[/mm]
>
> Die Ableitung davon wäre:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}& \bruch{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial y_{2}} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial y_{2}}
}[/mm]
>
> Oder? Bitte sag ja :(
Ja, das stimmt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Verstanden!!!!!!! *freu* :D
Danke, dass du mir so spät noch hilfst. Jetzt kann ich endlich beruhigt schlafen gehen. Ich wünsch dir noch eine ganz schöne Nacht.
Liebe Grüße und ein ganz großes Dankeschön
Joan
|
|
|
|
