Jensensche Ungleichung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:51 Mi 25.04.2012 | | Autor: | kullinarisch |
| Aufgabe | Sei f: [a, [mm] b]\to[\alpha, \beta] [/mm] eine Regelfunktion und [mm] \phi: [\alpha, \beta]\to\IR [/mm] eine stetige konvexe Funktion. Dann gilt:
[mm] \phi(\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx})\le \bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{(\phi\circ f)(x) dx} [/mm] |
Hallo! Ich bin mit der Aufgabe fast durch und schreibe den Beweis gerade ordentlich auf. Ich bin gerade an dem Schritt, an dem ich die Jensensche Ungleichung anwenden möchte und mir nicht das richtige Argument einfällt, warum ich das darf:
Kurz vorweg:
Ich habe mir eine Folge von Treppenfunktionen [mm] T_n(x) [/mm] definiert s.d. gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}T(x_k)\bruch{b-a}{n}
[/mm]
SO. Ein paar Schritte weiter und ein wenig umformen, bin ich dann zu dem Punkt angekommen, wo ich die Jensensche Ungleichung anwenden möchte.
[mm] \phi(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}T_n(x_k))\le\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n}\phi(T_n(x_k)) [/mm] Um diesen Schritt geht es mir hauptsächlich. Ist der Korrekt? Und wenn ja wieso?
Ich meine mich schwach zu erinnern, dass man den Limes rausziehen darf, wenn [mm] \phi [/mm] stetig ist (was sie ist) wahr oder falsch? Ich frag mich nur, ob die Jensensche Ungleichung dann noch gilt?!
Das ist im Moment noch der letzte Stein den ich aus dem Weg räumen muss, der Rest dürfte stimmen. Falls nötig oder gewünscht, schreibe ich gerne noch den Rest des Weges hin.
Ansonsten freu ich mich über ein wenig Hilfe!
Grüße, kulli
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Ok ist vielleicht etwas unnötig der ganze Post. Ich reduziere mal:
Seien f: [mm] A\to [/mm] B, g: [mm] B\to [/mm] C, g stetig und es gilt: [mm] f_n\to [/mm] f, [mm] n\to\infty [/mm] gleichmäßig.
Dann gilt doch: [mm] g(f(x))=g(\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x))=\limes_{n\rightarrow\infty}g(f_n(x)) [/mm]
An sich einleuchtend, aber ich verbrenn mir immer schnell die Finger an sowas. Ich kann mich nicht mehr klar daran erinnern, dass wir das bewiesen haben und ich finde auch keinen Satz. Ich muss trotzdem argumentieren warum das gilt, sonst bekomm ich keine Punkte und wissen will ich es auch unbedingt 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Das ist doch nur die Folgenchar. der Stetigkeit !
Sei D [mm] \subset \IR, [/mm] g: D: [mm] \to \IR [/mm] stetig und a [mm] \in [/mm] D. Ist dann [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in D mit [mm] a_n \to [/mm] a, so gilt:
[mm] g(a_n) \to [/mm] g(a),
also:
g(a)= [mm] g(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g(a_n)
[/mm]
FRED
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Ach ja richtig! Kam mir auch schon so vertraut vor!
Vielen Dank
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