Jordan-Form einer 5x5 Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 28.06.2006 | | Autor: | curk |
| Aufgabe | Es sei A
[mm] \pmat{
5 & -1 & -3 & 2 & -5 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 0 & 3 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 1
}
[/mm]
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A. (Die Transformationsmatrix, die A in seine Jordansche Normalform überführt, braucht [mm] \em{nicht} [/mm] angegeben zu werden.) |
Ich habe bereits das charakteristische Polynom [mm] P_F [/mm] = [mm] (x-3)^2(x-2)^3 [/mm] und das Minimalpolynom [mm] M_F [/mm] = [mm] (x-3)^1(x-2)^2 [/mm] berechnet, da die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert 3 eins ist und die zu 2 zwei ist.
Ich weiß also, dass es einen Jordanblock zum Eigenwert 3 gibt und 2 Jordanblöcke zum Eigenwert 2. Bei einer 5x5 Matrix ist die Zerlegung der Matrix in Blöcke aber nicht eindeutig, wie bei einigen anderen Beispielen.
Da ich die Transformationsmatrix nicht angeben muss, sträube ich mich nun davor die verallgemeinerten Eigenräume überhaupt zu betrachten.
Meine Frage ist: Wie komme ich nun auf die Größen meiner 3 Jordanblöcke und wie finde ich heraus wo in ihnen auf der Nebendiagonale einsen stehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Durch die Berechnung deines char. Polynoms kannst du die Eigenwerte ausrechnen. Soweit so gut.
Wenn du nun noch für jeden Eigenwert den Eigenraum ausrechnest und dir so dessen Dimension (die geometrische Vielfachheit) besorgst, weißt du, in wieviele Jordankästchen dein Jordanblock zum jeweiligen Eigenwert eingeteilt werden muss.
Ein Beispiel (das nicht stimmt, ist wahllos ausgedacht!):
Du weißt von deiner Jordanform, dass sie mindestens so aussehen muss (Auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte ja grade so oft, wie die Potenz dazu (die algebraische Vielfachheit) im char. Polynom hoch ist), an Stelle der Pünktchen steht die 0 oder die 1. Die eine 0 ist auch sicher, da hier ein neuer Jordanblock beginnt.
[mm] \pmat{ 2 & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Du rechnest jetzt deine Eigenräume raus über [mm] (2*E_{5}-A)*v_{1}=0 [/mm] und [mm] (3*E_{5}-A)*v_{2}=0 [/mm] (Dieses Verfahren ist dir sicher bekannt.)
Die Dimensionen der Eigenräume geben dir dann die Zahl der Jordankästchen im jeweiligen Jordanblock an.
Nun das Beispiel: (wie gesagt, das ist einfach ausgedacht!):
Die Dimension der beiden Eigenräume ist 1 (für EW 2) und 2 (EW 3).
Dann teilst du den Jordanbock zu 2 in 1 Jordankästchen und den Jordanblock zu 3 belieb in 2 Jordankästchen ein. Zum Beispiel so:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Und fertig ist die Laube!
Sicherlich, die Lösung des LGS zur Berechnung der Eigenräume ist zeitaufwendig, aber eine sehr gute Übung! (Und wenns wirklich zeitlich eng wird, hilft auch schnell mal ein CAS weiter! 
Ich hoffe ich konnte etwas weiterhelfen!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 28.06.2006 | | Autor: | curk |
Hi Kübi, danke für die schnelle Antwort :D
kann es sein, dass in der ersten matrix die du gepostet hast auf der nebendiagonalen nur punkte und eine 0 stehen sollen? :)
ansonsten habe ich ja schon die geometrischen vielfachheiten (also insbesondere die eigenräume zu den eigenwerten) ausgerechnet, für [mm] \lambda=2 [/mm] ist sie 2 und für [mm] \lambda=3 [/mm] ist sie 1.
also weiß ich, dass ich 3 jordanblöcke habe. mein problem ist nun, ich weiß nicht wie groß die einzelnen blöcke sind. was meinst du mit kästchen? wie komme ich genau auf die einsen auf der nebendiagonalen?
wir haben in der vorlesung leider den anscheinend recht häufig verwendeten begriff der "kästchen" garnicht verwendet :S
mfg, jonas ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
Selbstverständlich sollte das in der ersten Matrix eine 0 sein (ich hab das eigentlich verbessert aber irgendwie doch nicht! Ich schau dass ich es noch ändere!
Okay, du hast geschrieben, dass du die Eigenraumdimensionen ausgerechnet hast:
[mm] dimV_{2}=2 [/mm] und
[mm] dimV_{3}=1.
[/mm]
[mm] (V_{\lambda} [/mm] bezeichnet den Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lamda!)
[/mm]
Das heißt, zum Eigenwert 2 musst du deinen Jordanblock (der ist ja 2x2 groß) in 2 Jordankästchen aufteilen und den Jordanblock zum Eigenwert 3 (der ja 3x3 groß ist) in 1 in Jordankästchen aufteilen.
Was ist jetzt ein Jordankästchen... Naja, ich versuchs mal so zu erklären: Dein Jordanblock ist das größtmögliche Jordankästchen. Du kannst jeden Block der größer als 1x1 ist, in mehrere Jordankästchen aufteilen. Konkret an unserem Beispiel heißt das: Da [mm] dimV_{2}=2 [/mm] ist, musst du deinen 2x2 Jordanblock in 2 Jordankästchen aufteilen. Dir bleibt also nur die Möglichkeit, jeden zweier in ein 1x1 Jordankästchen zu schreiben.
Da [mm] dimV_{3}=1 [/mm] ist, musst du anlaog alle 3er in ein Jordankästchen schreiben! D.h. hier ist dein Block gleich deinem Kästchen!
Da das ganze sich schwer schriftlich darlegen lässt, hab ichs versucht hier "aufzumalen"...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hoffe das hilft weiter!
Lg, Kübi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 28.06.2006 | | Autor: | curk |
hey kübi,
danke! da hast du dir ja wirklich arbeit gemacht :D
also ist ein jordan-kästchen zu einem eigenwert einfach eine matrix mit dem eigenwert auf der diagonalen und einsen auf der nebendiagonalen.
zwischen verschiedenen kästchen stehen dann auf der nebendiagonalen nullen :D verstanden! danke!
liebe grüße, jonas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:31 Do 29.06.2006 | | Autor: | curk |
Hallo nochmal,
heute wollte ich ein weiteres Beispiel rechnen und habe doch noch eine Frage. Woher weiß ich in dem Beispiel von gestern, dass der Jordanblock zu [mm] \lambda=2 [/mm] die Größe 2x2 hat und der zu [mm] \lambda=3 [/mm] die Größe 3x3? Keine der Informationen die ich bis dahin ausgerechnet hatte, ließen diesen Schluss zu ...
Vielen Dank, Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 01.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 24.02.2013 | | Autor: | goupher |
Ich hab das ganze mal durchgerechnet, das Minimalpolynom ist (nach meinem Tachenrechner) falsch es fehlt einmal der eigenwert 3 also
M(x) = [mm] (x-3)^2 [/mm] * [mm] (x-2)^2
[/mm]
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