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Huhu! Da bin ich also scho wieder...
Es geht um folgendes: ich glaube dass das was ich jetzt frage, eigentlich ganz logisch ist;)
Also Eine nilpotente Matrix ist nur dann diagonalisierbar , wenn sie die Nullmatrix ist...
1. Wie kann man das beweisen?{klar ist, dass die nullmatrix nilpotent ist und diagonalsisierbar} mir fehlt aber der Schritt : Nilpotent=> nicht diagonalisierbar(außer die ist Nullmatrix)
zweitens: nun sucht man ja als ersatz für diagonalisierbarkeit und findet die JordanForm!
Existsiert die dann generell nur für Nilpotente Matrizen oder auch für möglcihe ander, nicht diagonalisierbare??
Ich hoffe ihr könnt mir wieder helfend zurseite stehen.
Lg Sandra
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Hallo pusteblume,
zu (1)
die Aussage im ersten Satz muss doch wohl sein:
$A$ ist nilpotent und diagonalisierbar [mm] $\gdw$ $A=\mathbb{O}$ [/mm] (Nullmatrix)
Also fehlt dir die "Hinrichtung"
Sei also $A$ nilpotent mit [mm] $A^k=\mathbb{O}$ [/mm] und zudem diagonalisierbar
Dann ex. [mm] $S\in Gl_n(\IK)$ [/mm] : [mm] $(SAS^{-1})=D$ [/mm] (Diagonalmatrix)
Dann ist [mm] $(SAS^{-1})^k=(SA^kS^{-1})$ [/mm]
Mache dir klar, warum das gilt, schreibs mal aus....
[mm] $=(S\mathbb{O}S^{-1})=\mathbb{O}$
[/mm]
$A$ hat also nur den Eigenwert 0, muss also die Nullmatrix sein
zu (2)
Nein, man kann schon ein paar mehr Matrizen in JNF bringen.
Solange nur das charakteristische Polynom der Matrix [mm] \underline{\text{vollständig}}
[/mm]
in Linearfaktoren zerfällt.
LG
schachuzipus
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Ich kann mir nicht ganz klarmachen, warum $ [mm] (SAS^{-1})^k=(SA^kS^{-1}) [/mm] $ gilt.
Ist [mm] (SAS^{-1})^k [/mm] = [mm] S^k A^k (S^-{1})^k [/mm] ,und wenn jetzt [mm] S^k [/mm] und ( [mm] S^-1)^k [/mm] immer noch invertierbar sind, dann wären beide wieder eine Matrix in [mm] Gl_n(K). [/mm] Ich bin allerdings nicht sicher, ob das definitiv für invertierbare Matrizen gilt.(Wobei, giobt es nicht den Satz, dass das Produkt invertierbarer Matrizen invertierbar ist?)=> dann gilt es natürlich auch für Potenzen der Matrix!
Ist der Gedanke so richtig?
Lg Sandra
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> Ich kann mir nicht ganz klarmachen, warum
> [mm](SAS^{-1})^k=(SA^kS^{-1})[/mm] gilt.
Hallo,
[mm] (SAS^{-1})^k=SAS^{-1}SAS^{-1}SAS^{-1}vSAS^{-1}...SAS^{-1}SAS^{-1}SAS^{-1}SAS^{-1} [/mm] = [mm] SAAAA...AAAAS^{-1}= SA^kS^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Danke schön:))
Ich glaube ich lasse Mathe für heute sein..Ich bekomm ja nichts mehr hin,...
Schönen dank für die schnellen Antworten
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