Jordan-Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Di 05.02.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | 1. Sei
A =
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie für A die Eigenwerte, die Vielfachheiten der Eigenwerte im charakteristischen Polynom, die Eigenräume und entscheiden Sie ob A diagonalisierbar ist. Wie sieht die Jordansche Normalform aus? |
Hi!
Ich weiß, das Thema wurde schon zig mal diskutiert, aber ich checks einfach nicht. Eigenwerte bestimmen, kein Thema, Eigenräume gehen auch noch. Es ist dann nicht diagonalisierbar, aber bei der Jordan-Normalform bin ich dann raus - kein Plan, wo da oben und unten ist.
Ich habe auch hier das Kochrezept durchgeackert:
http://www.danielwinkler.de/la/
Aber irgendwie geht das mit den Basen da für mich drunter und drüber (die brauche ich nicht, und das wurde auch in der Vorlesung nicht gemacht)
Diese ganzen Begriffe "algebraische Vielfachheit", "geometrische Vielfachheit", das Potenzieren diverser Matrizen und der Kernbestimmung, das krieg ich einfach nicht auf die Reihe (also das Durchführen schon, aber ich weiß nicht wirklich, was ich da tue und warum ich das da tue...)
Also die Eigenwerte sind 1 und 2 (2-fach). Daraus habe ich dann mal geschlossen, dass ich ne 3 x 3 - Matrix mit 2 , 2, 1 auf der Diagonale haben und ich weiß, dass auf der ersten Nebendiagonale 1er stehen können und der Rest 0 sein muss...
Aber alles weitere, also Größe der Jordankästchen, Länge (falls da ein Unterschied ist?!) verwirren mich total.
Auch die Berechnung der Anzahl der Kästchen check ich nicht. Ich dachte, ich hätte pro Eigenwert ein Kästchen? scheinbar nicht...
Für Hilfe bin ich dankbar!
Ciao, fkerber
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> 1. Sei
> A =
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen Sie für A die Eigenwerte, die Vielfachheiten der
> Eigenwerte im charakteristischen Polynom, die Eigenräume
> und entscheiden Sie ob A diagonalisierbar ist. Wie sieht
> die Jordansche Normalform aus?
> Hi!
>
> Ich weiß, das Thema wurde schon zig mal diskutiert, aber
> ich checks einfach nicht. Eigenwerte bestimmen, kein Thema,
> Eigenräume gehen auch noch. Es ist dann nicht
> diagonalisierbar, aber bei der Jordan-Normalform bin ich
> dann raus - kein Plan, wo da oben und unten ist.
>
> Ich habe auch hier das Kochrezept durchgeackert:
> http://www.danielwinkler.de/la/
Hallo,
das wollte ich Dir jetzt glatt ans Herz legen. Du hast es also schon.
Dann können wir ja anfangen, zusammen zu kochen.
> Diese ganzen Begriffe "algebraische Vielfachheit",
> "geometrische Vielfachheit", das Potenzieren diverser
> Matrizen und der Kernbestimmung, das krieg ich einfach
> nicht auf die Reihe (also das Durchführen schon, aber ich
> weiß nicht wirklich, was ich da tue und warum ich das da
> tue...)
Ich nehme mal an, daß es jetzt wirklich um die konkrete Zubereitung der JNF geht.
Ich würde Ernährungswissenschaft und Lebensmittelchemie gerne weglassen, die theoretischen Vorbereitungen zur JNF sind ja durchaus umfangreich (Vorlesung).
Deine Eigenwerte rechne ich nicht nach, die nehmen wir als gegeben.
> Also die Eigenwerte sind 1 und 2 (2-fach). Daraus habe ich
> dann mal geschlossen, dass ich ne 3 x 3 - Matrix mit 2 , 2,
> 1 auf der Diagonale haben und ich weiß, dass auf der ersten
> Nebendiagonale 1er stehen können und der Rest 0 sein
> muss...
Ja.
das charakteristische Polynom ist also [mm] X_A(x)=(x-1)(x-2)^2.
[/mm]
Die algebraische Vielfachheit von 1 ist 1, und die von 2 ist zwei.
Es sind nun zwei Fälle möglich:
1. Entweder die geometrische Vielfachheit (=Dimension des Eigenraumes) von 2 ist =2.
Dann haben wir eine Basis aus Eigenvektoren von A, und somit ist die Matrix diagonalisierbar:
A ist ähnlich zu [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
2. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 ist =1.
Das sagt uns: nur ein Kastchen zum Eigenwert 2.
Da wir auf der Diagonalen zwei Zweien haben, muß dieses Kästchen also die Gestalt [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] haben.
---
Zur Erklärung: wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist, sehen die Jordankästchen so aus:
Länge 1: [mm] (\lambda)
[/mm]
Länge 2: [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}
[/mm]
Länge 3: [mm] \begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
usw.
Der Jordanblock zum EW [mm] \lambda [/mm] wird aus der Gesamtheit der Jordankästchen gebildet, seine Länge ist durch die algebraische Vielfachheit gegeben.
Wissen wir von einer Matrix, daß der Jordanblöck zu [mm] \lambda [/mm] die Länge 4 hat (wg. algebr. Vielfachheit) und wissen, wir, daß dieser aus zwei Jordankästchen besteht (geometrische Vielfachheit), so kommen zwei Möglichkeiten für die Jordankästchen infrage:
[mm] (\lambda) [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
oder
[mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda} [/mm] und [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}.
[/mm]
Eine andere Möglichkeit gibt es nicht.
Wenn Du hier nun noch Genaueres wissen möchtest, mußt Du die Potenzen der Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E untersuchen.
__
Zurück zu Deiner Matrix.
Laß uns nun die geometr. Vielfachheit v. 2 bestimmen: sie beträgt 1.
Also wissen wir: der Jordanblock hat die Länge 2, und er besteht aus nur einem Kästchen, also aus dem hier:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}.
[/mm]
Damit steht deine JNF, ohne daß Du viel rechnen mußtest:
Die JNF von A ist
[mm] \begin{pmatrix}
1& 0& 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich hoffe, daß Du nun etwas besser durchblickst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 05.02.2008 | | Autor: | fkerber |
> Die algebraische Vielfachheit von 1 ist 1, und die von 2
> ist zwei.
>
> Es sind nun zwei Fälle möglich:
>
> 1. Entweder die geometrische Vielfachheit (=Dimension des
> Eigenraumes) von 2 ist =2.
>
> Dann haben wir eine Basis aus Eigenvektoren von A, und
> somit ist die Matrix diagonalisierbar:
>
> A ist ähnlich zu [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 2. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 ist =1.
>
> Das sagt uns: nur ein Kastchen zum Eigenwert 2.
>
> Da wir auf der Diagonalen zwei Zweien haben, muß dieses
> Kästchen also die Gestalt [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm] haben.
>
Also die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der Kästchen an?
Und die Länge ist automatisch durch die algebraische Vielfachheit gegeben?
Aber war dann beim Eigenwert 2 nicht von vornherein klar, dass es ein 2x2 Kästchen ist, da doch die algebraische Vielfachheit 2 ist?...
> ---
>
> Zur Erklärung: wenn [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert ist, sehen die
> Jordankästchen so aus:
>
> Länge 1: [mm](\lambda)[/mm]
>
> Länge 2: [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}[/mm]
>
> Länge 3: [mm]\begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> usw.
>
>
> Der Jordanblock zum EW [mm]\lambda[/mm] wird aus der Gesamtheit der
> Jordankästchen gebildet, seine Länge ist durch die
> algebraische Vielfachheit gegeben.
>
> Wissen wir von einer Matrix, daß der Jordanblöck zu
> [mm]\lambda[/mm] die Länge 4 hat (wg. algebr. Vielfachheit) und
> wissen, wir, daß dieser aus zwei Jordankästchen besteht
> (geometrische Vielfachheit), so kommen zwei Möglichkeiten
> für die Jordankästchen infrage:
>
> [mm](\lambda)[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}[/mm] und [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}.[/mm]
>
> Eine andere Möglichkeit gibt es nicht.
>
> Wenn Du hier nun noch Genaueres wissen möchtest, mußt Du
> die Potenzen der Matrix [mm]A-\lambda[/mm] E untersuchen.
>
Was heißt denn mehr? Diese Berechnung kommt ja auch im Kochrezept vor, aber wozu?
> __
>
> Zurück zu Deiner Matrix.
>
> Laß uns nun die geometr. Vielfachheit v. 2 bestimmen: sie
> beträgt 1.
Wie kann man das denn bestimmen?
>
Soweit schonmal danke ;)
Ciao, fkerber
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Hallo,
möglicherweise liegt eins Deiner Probleme darin, daß Du Jordanblock und Jordankästchen nicht unterscheidest.
"Jordanblock" zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist der Teil der Matrix mit den [mm] \lambda [/mm] auf der Hauptdiagonalen.
Wieviele [mm] \lambda [/mm] wir auf der Hauptdiagonalen haben, sehen wir an der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes [mm] \lambda.
[/mm]
Wie der Jordanblock aber aussieht, wissen wir noch noch nicht. Er besteht aus Jordankästchen, welche gestalt die haben, hatte ich Dir zuvor erklärt, und es gilt herauszufinden, welche Jordankästchen die Matrix, die man gerade untersuchen will, enthält.
> Also die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der
> Kästchen an?
Ja. Die Anzahl der Kästchen, die in dem Jordanblock zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] untergebracht werden können.
Wenn ich in z.B. einem Jordanblock der Länge 5 drei Kästchen unterbringen muß,
sind die entweder 3,1,1 oder 2,2,1 lang.
> Und die Länge ist automatisch durch die algebraische
> Vielfachheit gegeben?
Die Länge des Blockes.
> Aber war dann beim Eigenwert 2 nicht von vornherein klar,
> dass es ein 2x2 Kästchen ist, da doch die algebraische
> Vielfachheit 2 ist?...
Du kannst sofort wissen, daß bei Deiner Matrix der Jordanbloch zum EW 2 die Länge 2 hat, also zwei Zweien auf der Hauptdiagonalen.
Aber ob dieser Block aus zwei oder nur einem Kästchen besteht, kann man noch nicht wissen.
Dazu untersucht man die geometrische Vielfachheit, also die Dimension v. Kern (A-2E).
Den Kern v. (A-2E) kannst Du doch bestimmen. Oder etwa nicht??? (Auf der Diag. jeweils 2 abziehen, dann Lösung des entsprechenden homogenen LGS bestimmen.)
> > ---
> >
> > Zur Erklärung: wenn [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert ist, sehen die
> > Jordankästchen so aus:
> >
> > Länge 1: [mm](\lambda)[/mm]
> >
> > Länge 2: [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}[/mm]
> >
> > Länge 3: [mm]\begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > usw.
> >
> >
> > Der Jordanblock zum EW [mm]\lambda[/mm] wird aus der Gesamtheit der
> > Jordankästchen gebildet, seine Länge ist durch die
> > algebraische Vielfachheit gegeben.
> >
> > Wissen wir von einer Matrix, daß der Jordanblöck zu
> > [mm]\lambda[/mm] die Länge 4 hat (wg. algebr. Vielfachheit) und
> > wissen, wir, daß dieser aus zwei Jordankästchen besteht
> > (geometrische Vielfachheit), so kommen zwei Möglichkeiten
> > für die Jordankästchen infrage:
> >
> > [mm](\lambda)[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}
\lambda& 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > oder
> >
> > [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}[/mm] und [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda}.[/mm]
>
> >
> > Eine andere Möglichkeit gibt es nicht.
> >
> > Wenn Du hier nun noch Genaueres wissen möchtest, mußt Du
> > die Potenzen der Matrix [mm]A-\lambda[/mm] E untersuchen.
> >
>
> Was heißt denn mehr? Diese Berechnung kommt ja auch im
> Kochrezept vor, aber wozu?
Mit den bisherigen Überlegungen weißt Du über die von mir im Einschub betrachtete Matrix nur, daß der Jordanblock zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] die Länge 4 hat und aus zwei Kästchen besteht.
Ob das ein 3er und ein 1er Kästchen ist, oder ob es zwei 2er Kästchen sind, kann man nur durch weitere Rechnungen herausfinden.
Oft braucht man aber gar nicht weiterzurechnen, so in Deinem Beispiel.
Gruß v. Angela
>
> > __
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 06.02.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
> Aber ob dieser Block aus zwei oder nur einem Kästchen
> besteht, kann man noch nicht wissen.
>
> Dazu untersucht man die geometrische Vielfachheit, also die
> Dimension v. Kern (A-2E).
>
> Den Kern v. (A-2E) kannst Du doch bestimmen. Oder etwa
> nicht??? (Auf der Diag. jeweils 2 abziehen, dann Lösung des
> entsprechenden homogenen LGS bestimmen.)
>
>
Ja, ich denke, das kann ich, aber die Dimension des Kernes ist doch eins, er sieht doch so aus < (1,0,1) > (iss ja quasi auch der Eigenraum)
Das bringt mich doch dann auch nicht weiter, oder? (Ich mein, ich weiß ja jetzt, das die Antwort 2 sein müsste)
Also muss ich doch bereits hier das mit dem Potenzieren machen, oder wie kamst du drauf, dass die geometrische Vielfachheit 2 ist?
Vllt. steh ich auch nur pervers auf dem Schlauch....
Ciao, fkerber
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Blech |
Ich versuch hier mal, das ganze Konzept von Eigenvektoren zu wiederholen:
Wir haben eine lineare Abbildung A.
Ein Eigenvektor dieser Abbildung, ist ein Vektor, dessen Richtung von der Abbildung nicht verändert wird, er wird nur gestreckt oder gestaucht. Der Faktor um den er gestreckt oder gestaucht wird ist der zugehörige Eigenwert (vergessen wir für den Moment komplexe Eigenwerte, das sind dann Drehungen).
Eine Diagonalmatrix ist also eine lineare Abbildung, die die Richtung der Einheitsvektoren nicht ändert (btw. Richtung umdrehen, d.h. negative EW sehe ich hier nicht als Richtungsänderung).
Wenn Du eine beliebige Matrix diagonalisierst (sofern möglich), findest Du eine neue Basis, bzgl. derer die Matrix die Richtung der Basisvektoren nicht ändert, d.h. die Basisvektoren sind Eigenvektoren (nicht umgekehrt, da ja das doppelte eines Eigenvektors immer noch ein Eigenvektor ist, aber nicht mehr Basisvektor; er wäre Basisvektor einer anderen möglichen Basis).
[mm] $A=S^{-1}DS$ [/mm] heißt also, wenn Du die Abbildung auf einen Vektor anwendest
[mm] $Ax=S^{-1}DSx$, [/mm] transformierst Du ihn erst auf die neue Basis aus Eigenvektoren ($Sx$), wendest dann auf den Vektor bzgl. der neuen Basis die lineare Abbildung an (nur Strecken oder Stauchen, da das Ding ja diagonal ist), und transformierst dann zurück auf die alte.
Hat jetzt eine lineare Abbildung keine Basis aus Eigenvektoren, dann gibt es also weniger als n Richtungen entlang derer sie die Richtung von Vektoren nicht ändert. In diesem Fall behelfen wir uns mit dem Trick der Jordanbasis. Bzgl. dieser ist die Matrix zwar nicht diagonal, aber der Diagonalität ausreichend ähnlich, daß viele Rechnungen immer noch recht einfach sind.
D.h. wir kriegen so viele Jordankästchen, wie wir linear unabhängige Eigenvektoren haben; wir wollen ja eine Matrix, die "so diagonal wie möglich" ist, also warum sollten wir reell existierende Eigenvektoren auslassen.
Die Dimension des Kerns von [mm] $(A-\lambda I_n)$ [/mm] ist die Dimension des Lösungsraums des Gleichungssystems [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$, d.h. die Anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren, die wir zu dem Eigenwert finden können.
In Deinem Fall haben wir also einen Eigenvektor (wie immer bis auf vielfache) zum Eigenwert 1 und 1 zum Eigenwert 2, da der Kern von [mm] $A-2I_n$ [/mm] 1-dimensional ist, und damit die Lösungsmenge (der Eigenraum zum Eigenwert 2), des GLS $Ax=2x$ eindimensional.
Damit müssen wir uns unsere dritte Dimension für die Basis konstruieren. 2 hat die algebraische Vielfachheit 2, die geometrische 1, also 1 Jordankästchen der Länge 2.
Jetzt zur eigentlichen Frage:
> Ja, ich denke, das kann ich, aber die Dimension des Kernes
> ist doch eins, er sieht doch so aus < (1,0,1) > (iss ja
> quasi auch der Eigenraum)
Ja. Damit gibt's 1 Jordankästchen, das dann automatisch Länge 2 hat.
> Das bringt mich doch dann auch nicht weiter, oder? (Ich
> mein, ich weiß ja jetzt, das die Antwort 2 sein müsste)
Nein.
> Also muss ich doch bereits hier das mit dem Potenzieren
> machen, oder wie kamst du drauf, dass die geometrische
> Vielfachheit 2 ist?
Hat sie nirgends behauptet. Sie hat nur am Anfang mal beide Möglichkeiten beschrieben.
ciao
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> Hi!
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> > Aber ob dieser Block aus zwei oder nur einem Kästchen
> > besteht, kann man noch nicht wissen.
> >
> > Dazu untersucht man die geometrische Vielfachheit, also die
> > Dimension v. Kern (A-2E).
> aber die Dimension des Kernes
> ist doch eins, er sieht doch so aus < (1,0,1) > (iss ja
> quasi auch der Eigenraum)
> Das bringt mich doch dann auch nicht weiter, oder?
Hallo,
doch. Du bist fertig - sofern sich die Aufgabe nicht noch aufs Bestimmen einer Basis erstreckt.
Du weißt über den EW 2:
algebraische Vielfachheit: 2 ==> Jordanblock hat die Länge 2
geometrische Vielfachheit: 1 ==> 1 Jordankästchen
Über den EW 1:
algebraische Vielfachheit: 1 ==> Jordanblock hat die Länge 1
Mit diesen Informationen kannst Du die JNF hinschreiben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 07.02.2008 | | Autor: | fkerber |
Ha, ich sehe Licht im Dunkel!
Vielen Dank euch beiden!
Eine Frage habe ich noch:
Wann genau mache ich diese Untersuchung mit den Potenzen? Ich habe es nämlich quasi "aus Versehen" ja auch für meinen Eigenwert 2 gemacht und erhalte dann bei (A-2E)² eine Matrix, deren Kern Dimension 2 hat...
Das der Schluss geometrische Vielfachheit = 2 falsch ist, ist mir klar (da es ja sonst auch diagonalisierbar wäre).
Aber wann mache ich diese weiteren Untersuchungen? Im Kochrezept steht ja auch "(bei Bedarf)" , aber dann solange, bis sich die Dim. des Kerns nicht mehr ändert - hier wechselt sie ja noch von 1 auf 2, also wieso ist dann 2 trotzdem nicht die richtige Antwort?
Vielleicht könnt ihr da noch etwas Licht reinbringen? Das wär klasse!
Ciao, fkerber
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> Eine Frage habe ich noch:
> Wann genau mache ich diese Untersuchung mit den Potenzen?
Hallo,
wenn Dir die bisherigen Informationen nicht reichen.
Ich hatte ja oben das Beispiel gebracht, in welchem man einen Jordanblock der Lange 4 hat und weiß, daß es zwei Kästchen sein müssen, enttweder 3,1 oder 2,2.
Mit den Kerpotenzen erfährst Du - wie Du auch im Rezept nachlesen kannst - welche Länge das längste Jordankastchen zum betreffenden Eigenwert hat.
> Ich habe es nämlich quasi "aus Versehen" ja auch für meinen
> Eigenwert 2 gemacht und erhalte dann bei (A-2E)² eine
> Matrix, deren Kern Dimension 2 hat...
Paßt ja: die Untersuchung hat Dir also geliefert, daß das längste Kästchen die Länge 2 hat.
> Aber wann mache ich diese weiteren Untersuchungen? Im
> Kochrezept steht ja auch "(bei Bedarf)" , aber dann
> solange, bis sich die Dim. des Kerns nicht mehr ändert -
> hier wechselt sie ja noch von 1 auf 2, also wieso ist dann
> 2 trotzdem nicht die richtige Antwort?
???
Doch, 2 ist die richtige Antwort auf die Frage nach der Länge des längsten Jordankästchens.
Wenn Du dann exakt so weitermachst, wie in der Anleitung beschrieben, bekommst Du die Jordanbasis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 08.02.2008 | | Autor: | fkerber |
Ah! Jetzt habe ichs glaube ich!
Passt das da so:
Also Dimension des Eigenraums = Anzahl Kästchen zum Eigenwert
Höchste Dimension der Kerne der Potenzen = Länge des längsten Kästchens?
Ciao, fkerber
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> Ah! Jetzt habe ichs glaube ich!
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> Passt das da so:
> Also Dimension des Eigenraums = Anzahl Kästchen zum
> Eigenwert
Ja.
> Höchste Dimension der Kerne der Potenzen = Länge des
> längsten Kästchens?
Auch wenn das mit der Dimension etwas kraus formuliert ist: ich glaube auch, daß Du's begriffen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 01.03.2008 | | Autor: | manmath |
Selten habe ich so einleuchtende Erklärungen zur JNF gelesen. Danke besonders an Angela.
Jetzt aber die Zusatzfrage, könnte wohl in Prüfungen gestellt werden:
Sind Überlegungen mit den Jordankästchen auch bei großen Matrizen anwendbar? Der Prof sagt, in der Praxis kommen meistens Matrizen mit sehr großen n vor. Was macht man dann?
LG v.manmath
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> Jetzt aber die Zusatzfrage, könnte wohl in Prüfungen
> gestellt werden:
> Sind Überlegungen mit den Jordankästchen auch bei großen
> Matrizen anwendbar?
Hallo,
naja, die Grundaussagen über Vielfachheiten, Länge der Blöcke, Anzahl der Kästchen, Größe des größten Kästchens stimmen natürlich.
Bloß wenn Du eine Matrix hast, deren einer Eigenwert die algebraische Vielfachheit 36 hat, kommst Du mit diesen Überlegungen natürlich nicht zur JNF, man behält einfach zu viele Kombinationsmöglichkeiten übrig.
> Der Prof sagt, in der Praxis kommen
> meistens Matrizen mit sehr großen n vor. Was macht man
> dann?
Also ich würde dann dahergehen und eine Jordanbasis berechnen.
Was der Praktiker und der Numeriker machen, weiß ich nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 So 02.03.2008 | | Autor: | manmath |
> Also ich würde dann dahergehen und eine Jordanbasis
> berechnen.
>
Danke, das verstehe ich, denn mit der Jordanbasis kann man wohl immer die JNF berechnen - ohne "Kästchen-Technik".
Gruß v. manmath
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 02.03.2008 | | Autor: | manmath |
Sorry, jetzt habe ich bei der Vorbereitung doch noch eine sicher hm einfache Frage:
Manchmal stehen die 1-en bei der JNF oberhalb der Hauptdigonalen (zB bei wikipedia) und manchmal unterhalb. Was ist Standard/richtig?
Gruß v. manmath
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> Sorry, jetzt habe ich bei der Vorbereitung doch noch eine
> sicher hm einfache Frage:
> Manchmal stehen die 1-en bei der JNF oberhalb der
> Hauptdigonalen (zB bei wikipedia) und manchmal unterhalb.
> Was ist Standard/richtig?
Hallo,
ob sie oben oder unten stehen, hängt ja nur von der Reihenfolge der Basiselemente ab, was anderes steckt nicht dahinter.
Ich habe es so kennengelernt, daß die Einsen oben stehen.
Da muß man dann, wenn man die Basis mit den Potenzen der Kerne bestimmt, die Elemente in der umgekehrten Reihenfolge aufschreiben wie in dem von verlinkten JNF-Kochrezept.
(Ich glaube nicht, daß Du in einer mündlichen Prüfung eine komplette Jordanbasis ausrechnen mußt. Das dauert viel zu lange - Zeit, in welcher man Dir lieber weiter auf den Zahn fühlen wird.)
Gruß v. Angela
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