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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Fr 15.07.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 2 }\in M(3\times3,\IC)
[/mm]
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A. |
Guten Morgen zusammen, ich gelange bei obiger Aufgabe nicht zur einer sinvollen Lösung und finde meine Fehler leider nicht :-(. Vielleicht könnt Ihr mir beim Aufspüren des Fehlers helfen. Vielen Dank.
Ich habe zuerst die Eigenwerte von A über das charakteristische Polynom berechnet.
[mm] det(A-tE)=det\pmat{ 3-t & 2 & -1 \\ 2 & 6-t & -2 \\ 0 & 0 & 2-t }=(3-t)(6-t)(2-t)-4(2-t)=...=(t-2)^2(t-7)
[/mm]
D.h. die Eigenwerte von A lauten [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=7
[/mm]
Jetzt berechne ich noch die zugehörigen Eigenvektoren:
[mm] (A-\lambda_1E)v=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -4 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -5 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}\gdw\pmat{ -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & -5 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_3=0; v_2 [/mm] beliebig, wähle [mm] v_2=2; v_1=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_I=\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
[mm] (A-\lambda_2E)v=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}\gdw\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_3 [/mm] beliebig, wähle [mm] v_3=1 [/mm] ; [mm] v_2 [/mm] beliebig, wähle [mm] v_2=0; v_1=1 [/mm] und zusätzlich
[mm] \Rightarrow v_3 [/mm] beliebig, wähle [mm] v_3=0 [/mm] ; [mm] v_2 [/mm] beliebig, wähle [mm] v_2=1; v_1=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{II}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] v_{III}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Für die Jordansche Normalform gilt: [mm] J=S^{-1}AS
[/mm]
[mm] S=\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
S ist invertierbar da [mm] det(S)=-1\not=0
[/mm]
[mm] S^{-1}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 2 }
[/mm]
Aber wenn ich jetzt mein J berechnen will bekomm ich nicht die Jordansche Normalform mit den typischen Jordanblöcken raus, sonder:
[mm] J=S^{-1}AS=\pmat{ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 0 & -2 }
[/mm]
Dabei sollte J doch eigentlich folgende Gestalt haben:
[mm] J=\pmat{ 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] oder [mm] J=J=\pmat{ 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Vielleicht könnt Ihr mir ja verraten wo sich mein Fehler eingeschlichen hat. VIELEN DANK!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Fr 15.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A=\pmat{ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 2 }\in M(3\times3,\IC)[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A.
> Guten Morgen zusammen, ich gelange bei obiger Aufgabe
> nicht zur einer sinvollen Lösung und finde meine Fehler
> leider nicht :-(. Vielleicht könnt Ihr mir beim Aufspüren
> des Fehlers helfen. Vielen Dank.
>
> Ich habe zuerst die Eigenwerte von A über das
> charakteristische Polynom berechnet.
> [mm]det(A-tE)=det\pmat{ 3-t & 2 & -1 \\ 2 & 6-t & -2 \\ 0 & 0 & 2-t }=(3-t)(6-t)(2-t)-4(2-t)=...=(t-2)^2(t-7)[/mm]
>
> D.h. die Eigenwerte von A lauten [mm]\lambda_1=2[/mm] und
> [mm]\lambda_2=7[/mm]
>
> Jetzt berechne ich noch die zugehörigen Eigenvektoren:
> [mm](A-\lambda_1E)v=0[/mm]
> [mm]\pmat{ -4 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -5 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}\gdw\pmat{ -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & -5 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_3=0; v_2[/mm] beliebig, wähle [mm]v_2=2; v_1=-1[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist [mm] v_1=1.
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_I=\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_2E)v=0[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}\gdw\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_3[/mm] beliebig, wähle [mm]v_3=1[/mm] ; [mm]v_2[/mm] beliebig,
> wähle [mm]v_2=0; v_1=1[/mm] und zusätzlich
> [mm]\Rightarrow v_3[/mm] beliebig, wähle [mm]v_3=0[/mm] ; [mm]v_2[/mm] beliebig,
> wähle [mm]v_2=1; v_1=-1[/mm]
Auch das stimmt nicht. Aus [mm] v_3=0 [/mm] und [mm] v_2=1 [/mm] folgt [mm] v_1=-2.
[/mm]
FRED
> [mm]\Rightarrow v_{II}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]v_{III}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Für die Jordansche Normalform gilt: [mm]J=S^{-1}AS[/mm]
> [mm]S=\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> S ist invertierbar da [mm]det(S)=-1\not=0[/mm]
> [mm]S^{-1}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 2 }[/mm]
>
> Aber wenn ich jetzt mein J berechnen will bekomm ich nicht
> die Jordansche Normalform mit den typischen Jordanblöcken
> raus, sonder:
>
> [mm]J=S^{-1}AS=\pmat{ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 8 & 0 & -2 }[/mm]
>
> Dabei sollte J doch eigentlich folgende Gestalt haben:
> [mm]J=\pmat{ 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm] oder
> [mm]J=J=\pmat{ 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Vielleicht könnt Ihr mir ja verraten wo sich mein Fehler
> eingeschlichen hat. VIELEN DANK!!
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