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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Di 18.03.2008 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Hallo! Ich beschäftige mich gerade mit der Jordan-Normalform und habe eine konkrete Frage dazu.
Nehmen wir mal an, ich hätte eine Matrix A [mm] \in K^{4x4} [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] (2-\lambda)^{4}, [/mm] also mit 4-fachem Eigenwert 2.
Nun möchte ich zu A eine Jordan-Normalform bestimmen. Ich weiß also schon mal, dass ich auf der Diagonalen 4 2er habe. Fragt sich nur noch, wieviele 1er ich in die Matrix schreiben muss. Dazu betrachte ich die Matrix [mm] T:=(A-2E_{n}) [/mm] und finde heraus, dass T Nilpotenzgrad 2 hat. Nun weiß ich ja, dass ich zwei 2er aus meiner Diagonalen mit einer 1 verbinden muss. Und nun meine Frage: Was ist mi den zwei anderen 2ern in meiner Matrix? Stehen sie einzeln oder werden sie auch mit einer 1 verbunden? Konkret gesagt: Wie sieht meine Jordan-Normalform dann aus?:
1. Möglichkeit: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
2. Möglichkeit: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 }
[/mm]
Also wie kann ich rausfinden, wie die Jordan-Normalform in diesem Fall aussieht? Oder gibt es eine der beiden Möglichkeiten gar nicht? Wenn ja, warum nicht? |
Ich würde mic sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal im Vorraus!
LG Leni
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> Nehmen wir mal an, ich hätte eine Matrix A [mm]\in K^{4x4}[/mm] mit
> charakteristischem Polynom [mm](2-\lambda)^{4},[/mm] also mit
> 4-fachem Eigenwert 2.
> Nun möchte ich zu A eine Jordan-Normalform bestimmen. Ich
> weiß also schon mal, dass ich auf der Diagonalen 4 2er
> habe. Fragt sich nur noch, wieviele 1er ich in die Matrix
> schreiben muss. Dazu betrachte ich die Matrix [mm]T:=(A-2E_{n})[/mm]
> und finde heraus, dass T Nilpotenzgrad 2 hat. Nun weiß ich
> ja, dass ich zwei 2er aus meiner Diagonalen mit einer 1
> verbinden muss.
Du erfährst hieraus insbesondere, die Größe des größten Jordankästchens.
> Und nun meine Frage: Was ist mi den zwei
> anderen 2ern in meiner Matrix? Stehen sie einzeln oder
> werden sie auch mit einer 1 verbunden? Konkret gesagt: Wie
> sieht meine Jordan-Normalform dann aus?:
Diese Frage kannst Du beantworten, wenn Du die Dimension des Eigenraumes berechnet hast. Sie gibt Dir an, wie viele Jordankästchen Du unterbringen mußt
Bei Deiner 4x4-Matrix ist jetzt also die Frage, ob der Eigenraum zu 2 die Dimension 2 hat:
2. Möglichkeit: $ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 } [/mm] $
oder die Dimension 3:
> 1. Möglichkeit: [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
Gruß v. Angela
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