Jordan Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Bestimme die Jordan-Basis und die zugehörige Jordannormalform für die folgende nilpotent Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0& 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] |
Hallo,
(achtung: wir hatten in der Vorlesung nur die Jordannormalform nilpotenter Matrizen)
Leider haben wir in der Vorlesung nur den Satz aufgeschrieben, dass die Jordannormalform einer nilpotenten Matrix Jordanblöcke auf der Diagonalen hat.
Wie man diese Konstruiert haben wir nicht detailiert aufgeschrieben, sondern nur an einem kurzen Beispiel gezeigt bekommen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] e_1 [/mm] -> 0
[mm] e_2 [/mm] -> 0
[mm] e_3 [/mm] -> [mm] e_1
[/mm]
[mm] e_4 [/mm] -> [mm] e_1+e_2
[/mm]
[mm] e_5 [/mm] -> [mm] e_1+e_2+e_3
[/mm]
[mm] e_6 [/mm] -> [mm] e_1+e_2+e_3+e_4
[/mm]
[mm] e_6 ->e_1+e_1+e_3+e_4->2e_1+e_2->0
[/mm]
[mm] e_5 ->e_1+e_2+e_3->e_1->0
[/mm]
[mm] v_1:=e_6
[/mm]
[mm] v_2:=e_1+e_1+e_3+e_4
[/mm]
[mm] v_3:=2e_1+e_2
[/mm]
[mm] v_4:=e_5 [/mm]
[mm] v_5:=e_1+e_2+e_3
[/mm]
[mm] v_6:=e_1
[/mm]
=> Basis ist [mm] (v_1,...,v_6)
[/mm]
Jordannormalform ist:
JNF= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & & &
\\ 1 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 1 & 0 & & &
\\ & & & 0 & 0 & 0
\\ & & & 1 & 0 & 0
\\ & & & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Warum die Einheitsvektoren auf diese Weise abgebildet werden, verstehe ich, der Sinn dahinter bleibt mir allerdings verschlossen. Genauso, warum die [mm] v_i [/mm] dann eine Jordanbasis sind und auch die Jordannormalform selbst erschließt sich mir aus dem Beispiel nicht.
Normalerweise stehen ja die Bilder der Basisvektoren in den Spalten. Die Bilder der [mm] v_i [/mm] stehen hier aber sicher nicht in den Spalten der Matrix JNF.
Wende ich aber trotzdem das verfahren (ohne Verständnis) auf die gegebene Aufgabe an, erhalte ich:
[mm] e_1->e_4
[/mm]
[mm] e_2->0
[/mm]
[mm] e_3->e_6
[/mm]
[mm] e_4->e_2
[/mm]
[mm] e_5->e_7
[/mm]
[mm] e_6->e_5
[/mm]
[mm] e_7->0
[/mm]
[mm] e_7->0
[/mm]
[mm] e_6->e_5->e_7->0
[/mm]
[mm] e_5->e_7->0
[/mm]
[mm] e_3->e_6->e_5->e_7->e_0
[/mm]
[mm] e_2->0
[/mm]
[mm] e_1->e_4->e_2->0
[/mm]
Daraus folgt die Jordanbasis [mm] (e_7 e_6 e_5 e_4 e_3 e_2 e_1)
[/mm]
Auf eine Jordannormalform kann ich nicht schließen (und auch nicht sagen, ob die Basis stimmt, da ich nicht weiß, ob das was ich gemacht habe überhaupt einen Sinn ergibt.)
Den Artikel bei Wikipedia habe ich auch schon durchgelesen, allerdings scheinen Jordannormalformen von allgemeinen Matrizen einiges komplizierte zu sein.
Für eine Erklärung wäre ich dankbar.
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Bestimme die Jordan-Basis und die zugehörige
> Jordannormalform für die folgende nilpotent Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0& 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> Hallo,
>
> (achtung: wir hatten in der Vorlesung nur die
> Jordannormalform nilpotenter Matrizen)
> Leider haben wir in der Vorlesung nur den Satz
> aufgeschrieben, dass die Jordannormalform einer nilpotenten
> Matrix Jordanblöcke auf der Diagonalen hat.
>
> Wie man diese Konstruiert haben wir nicht detailiert
> aufgeschrieben, sondern nur an einem kurzen Beispiel
> gezeigt bekommen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]e_1[/mm] -> 0
> [mm]e_2[/mm] -> 0
> [mm]e_3[/mm] -> [mm]e_1[/mm]
> [mm]e_4[/mm] -> [mm]e_1+e_2[/mm]
> [mm]e_5[/mm] -> [mm]e_1+e_2+e_3[/mm]
> [mm]e_6[/mm] -> [mm]e_1+e_2+e_3+e_4[/mm]
>
> [mm]e_6 ->e_1+e_1+e_3+e_4->2e_1+e_2->0[/mm]
> [mm]e_5 ->e_1+e_2+e_3->e_1->0[/mm]
>
> [mm]v_1:=e_6[/mm]
> [mm]v_2:=e_1+e_1+e_3+e_4[/mm]
> [mm]v_3:=2e_1+e_2[/mm]
> [mm]v_4:=e_5[/mm]
> [mm]v_5:=e_1+e_2+e_3[/mm]
> [mm]v_6:=e_1[/mm]
>
> => Basis ist [mm](v_1,...,v_6)[/mm]
>
> Jordannormalform ist:
> JNF= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & & &
\\ 1 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 1 & 0 & & &
\\ & & & 0 & 0 & 0
\\ & & & 1 & 0 & 0
\\ & & & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Warum die Einheitsvektoren auf diese Weise abgebildet
> werden, verstehe ich, der Sinn dahinter bleibt mir
> allerdings verschlossen. Genauso, warum die [mm]v_i[/mm] dann eine
> Jordanbasis sind und auch die Jordannormalform selbst
> erschließt sich mir aus dem Beispiel nicht.
>
> Normalerweise stehen ja die Bilder der Basisvektoren in den
> Spalten. Die Bilder der [mm]v_i[/mm] stehen hier aber sicher nicht
> in den Spalten der Matrix JNF.
>
> Wende ich aber trotzdem das verfahren (ohne Verständnis)
> auf die gegebene Aufgabe an, erhalte ich:
> [mm]e_1->e_4[/mm]
> [mm]e_2->0[/mm]
> [mm]e_3->e_6[/mm]
> [mm]e_4->e_2[/mm]
> [mm]e_5->e_7[/mm]
> [mm]e_6->e_5[/mm]
> [mm]e_7->0[/mm]
>
> [mm]e_7->0[/mm]
> [mm]e_6->e_5->e_7->0[/mm]
> [mm]e_5->e_7->0[/mm]
> [mm]e_3->e_6->e_5->e_7->e_0[/mm]
> [mm]e_2->0[/mm]
> [mm]e_1->e_4->e_2->0[/mm]
>
> Daraus folgt die Jordanbasis [mm](e_7 e_6 e_5 e_4 e_3 e_2 e_1)[/mm]
>
> Auf eine Jordannormalform kann ich nicht schließen (und
> auch nicht sagen, ob die Basis stimmt, da ich nicht weiß,
> ob das was ich gemacht habe überhaupt einen Sinn ergibt.)
Der ![[]](/images/popup.gif) Nilpotenzgrad einer Matrix A gibt die Größe des größten Jordanblocks an.
Da bleiben dann nicht mehr viele Möglichkeiten.
Für eine Jordanbasis gehe wie folgt vor, (ich mach das immer so):
Bestimme hier zunächst den Kern von A: [mm]*e_{k}=0[/mm]
,wobei die [mm]e_{k}[/mm] die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind.
Der nächste Schritt sind jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe:
Diese sind Lösungsmenge von [mm]A^{2}*e_{k,2}=0[/mm]
[mm]A^{2}*e_{k,2}=A*A*e_{k,2}=0 \Rightarrow A*e_{k,2}=e_{k}[/mm]
Das kann man auch für Eigenvektoren n. ter Stufe machen:
[mm]A*e_{k,n}=e_{k,n-1}[/mm]
, wobei [mm]e_{k,n}[/mm] der Eigenvektor n.ter Stufe ist, der auf den korrespondieren Eigenvektor (n-1). Stufe abgebildet wird.
Diese Eigenvektoren werden jetzt in eine Matrix eingetragen:
[mm]S=\left(e_{1,n_{1}}, \ \cdots , e_{1,2}, \ e_{1}, \ \cdots , \ e_{k,n_{k}}, \ \cdots , e_{k,2}, e_{k}\right)[/mm]
,wobei k=dim(Kern(A)) ist.
Dann ergibt sich die Jordan-Normalform zu [mm]J=S^{-1}*A*S[/mm]
>
> Den Artikel bei Wikipedia habe ich auch schon durchgelesen,
> allerdings scheinen Jordannormalformen von allgemeinen
> Matrizen einiges komplizierte zu sein.
>
> Für eine Erklärung wäre ich dankbar.
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
> Der Nilpotenzgrad
> einer Matrix A gibt die Größe des größten Jordanblocks an.
>
> Da bleiben dann nicht mehr viele Möglichkeiten.
Ok, dann kenne ich den größten Block. Aber wie komme ich auf die anderen Blöcke? (Es sieht für mich so aus, als wären es im Beispiel unseres Profs die Anzahl an Iterationen, welche benötigt werden, damit die Standardvektoren auf null abgebildet werden. Einen (nachvollziehbaren) Grund kenne ich aber nicht.)
> Für eine Jordanbasis gehe wie folgt vor, (ich mach das
> immer so):
>
> Bestimme hier zunächst den Kern von A: [mm]*e_{k}=0[/mm]
Sei A die Matrix aus der Aufgabe.
Dann ist [mm] Ker(A)=<e_2,e_7>
[/mm]
> ,wobei die [mm]e_{k}[/mm] die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind.
Stimmt, nilpotente Matrizen haben ja nur den EW 0. (?)
> Der nächste Schritt sind jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe:
>
> Diese sind Lösungsmenge von [mm]A^{2}*e_{k,2}=0[/mm]
Die "2" in [mm] e_{k,2} [/mm] ist reine Notation und deutet auf die 2. Stufe hin?
> [mm]A^{2}*e_{k,2}=A*A*e_{k,2}=0 \Rightarrow A*e_{k,2}=e_{k}[/mm]
Den Schluss von [mm] A*A*e_{k,2}=0 [/mm] auf [mm] A*e_{k,2}=e_{k} [/mm] kann ich nicht Nachvollziehen. Warum wird [mm] e_{k,2} [/mm] auf den Vektor niedrigerer Stufe abgebildet?
>
> Das kann man auch für Eigenvektoren n. ter Stufe machen:
>
> [mm]A*e_{k,n}=e_{k,n-1}[/mm]
>
> , wobei [mm]e_{k,n}[/mm] der Eigenvektor n.ter Stufe ist, der auf
> den korrespondieren Eigenvektor (n-1). Stufe abgebildet
> wird.
Heißt, das, ich solle die Kerne von [mm] A^2 [/mm] bis [mm] A^n=0 [/mm] berechnen?
Ok, das habe ich gemacht.
[mm] Ker(A^4) [/mm] ist allerdings ganz [mm] \IR^7, [/mm] sodass wenn ich alle Vektoren in eine Matrix S eintrage, viele redundante Vektoren drinstehen habe (Eben die Eigenvektoren zu 0 von [mm] A^2 [/mm] bis [mm] A^3)
[/mm]
>
> Diese Eigenvektoren werden jetzt in eine Matrix
> eingetragen:
>
> [mm]S=\left(e_{1,n_{1}}, \ \cdots , e_{1,2}, \ e_{1}, \ \cdots , \ e_{k,n_{k}}, \ \cdots , e_{k,2}, e_{k}\right)[/mm]
>
> ,wobei k=dim(Kern(A)) ist.
>
> Dann ergibt sich die Jordan-Normalform zu [mm]J=S^{-1}*A*S[/mm]
>
> >
> > Den Artikel bei Wikipedia habe ich auch schon durchgelesen,
> > allerdings scheinen Jordannormalformen von allgemeinen
> > Matrizen einiges komplizierte zu sein.
> >
> > Für eine Erklärung wäre ich dankbar.
> >
> > Gruß,
> > Rutzel
>
> Gruß
> MathePower
Wie hängt das Ganze mit dem in der Vorlesung gezeigt Vorgehen zusammen? Bei dem Beispiel aus unserer Vorlesung scheint man aus den Iterationen der [mm] e_i [/mm] (d.h. so lange weiter abbilden,bis sie endlich auf 0 abgebildet werden) auf die Basis und Jordanmatrix schließen zu können. Leuchtet Dir dieses Verfahren ein?
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> > Der Nilpotenzgrad
> > einer Matrix A gibt die Größe des größten Jordanblocks an.
> >
> > Da bleiben dann nicht mehr viele Möglichkeiten.
>
> Ok, dann kenne ich den größten Block. Aber wie komme ich
> auf die anderen Blöcke? (Es sieht für mich so aus, als
> wären es im Beispiel unseres Profs die Anzahl an
> Iterationen, welche benötigt werden, damit die
> Standardvektoren auf null abgebildet werden. Einen
> (nachvollziehbaren) Grund kenne ich aber nicht.)
Du kennst also jetzt den größten Jordanblock.
Aus der Dimension des Kernes dieser Matrix folgt die Anzahl der Jordanblöcke.
>
> > Für eine Jordanbasis gehe wie folgt vor, (ich mach das
> > immer so):
> >
> > Bestimme hier zunächst den Kern von A: [mm]*e_{k}=0[/mm]
>
> Sei A die Matrix aus der Aufgabe.
> Dann ist [mm]Ker(A)=<e_2,e_7>[/mm][/b]
>
Somit gibt es 2 Jordanblöcke
Welche Größe hat dann der andere Jordanblock?
> > ,wobei die [mm]e_{k}[/mm] die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind.
>
> Stimmt, nilpotente Matrizen haben ja nur den EW 0. (?)
>
> > Der nächste Schritt sind jetzt die Eigenvektoren 2. Stufe:
> >
> > Diese sind Lösungsmenge von [mm]A^{2}*e_{k,2}=0[/mm]
>
>
> Die "2" in [mm]e_{k,2}[/mm] ist reine Notation und deutet auf die 2.
> Stufe hin?
So isses.
>
> > [mm]A^{2}*e_{k,2}=A*A*e_{k,2}=0 \Rightarrow A*e_{k,2}=e_{k}[/mm]
>
>
> Den Schluss von [mm]A*A*e_{k,2}=0[/mm] auf [mm]A*e_{k,2}=e_{k}[/mm] kann ich
> nicht Nachvollziehen. Warum wird [mm]e_{k,2}[/mm] auf den Vektor
> niedrigerer Stufe abgebildet?
>
Ursprünglich haben wir [mm]A^{2}*e_{k,2}=0[/mm] zu lösen
[mm]A^2*e_{k,2}=0 \gdw A*\left(A*e_{k,2}\right)=0[/mm]
Andererseits gilt: [mm]A*e_{k}=0[/mm]
Daraus folgt nun [mm]A*e_{k,2}=e_{k}[/mm]
> >
> > Das kann man auch für Eigenvektoren n. ter Stufe machen:
> >
> > [mm]A*e_{k,n}=e_{k,n-1}[/mm]
> >
> > , wobei [mm]e_{k,n}[/mm] der Eigenvektor n.ter Stufe ist, der auf
> > den korrespondieren Eigenvektor (n-1). Stufe abgebildet
> > wird.
>
> Heißt, das, ich solle die Kerne von [mm]A^2[/mm] bis [mm]A^n=0[/mm]
> berechnen?
Das musst Du mit dieser Methode nicht.
> Ok, das habe ich gemacht.
> [mm]Ker(A^4)[/mm] ist allerdings ganz [mm]\IR^7,[/mm] sodass wenn ich alle
Das ist klar, weil A nilpotent vom Nilpotenzgrad 4 ist.
> Vektoren in eine Matrix S eintrage, viele redundante
> Vektoren drinstehen habe (Eben die Eigenvektoren zu 0 von
> [mm]A^2[/mm] bis [mm]A^3)[/mm][/b]
Da darfst Du nur die Vektoren nehmen, die eine spezielle Lösung darstellen, also keine Parameter haben.
Die Vektoren, die Parameter haben, sind die Eigenvektoren 1. Stufe.
>
>
> >
> > Diese Eigenvektoren werden jetzt in eine Matrix
> > eingetragen:
> >
> > [mm]S=\left(e_{1,n_{1}}, \ \cdots , e_{1,2}, \ e_{1}, \ \cdots , \ e_{k,n_{k}}, \ \cdots , e_{k,2}, e_{k}\right)[/mm]
>
> >
> > ,wobei k=dim(Kern(A)) ist.
> >
> > Dann ergibt sich die Jordan-Normalform zu [mm]J=S^{-1}*A*S[/mm]
> >
> > >
> > > Den Artikel bei Wikipedia habe ich auch schon durchgelesen,
> > > allerdings scheinen Jordannormalformen von allgemeinen
> > > Matrizen einiges komplizierte zu sein.
> > >
> > > Für eine Erklärung wäre ich dankbar.
> > >
> > > Gruß,
> > > Rutzel
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> Wie hängt das Ganze mit dem in der Vorlesung gezeigt
> Vorgehen zusammen? Bei dem Beispiel aus unserer Vorlesung
> scheint man aus den Iterationen der [mm]e_i[/mm] (d.h. so lange
> weiter abbilden,bis sie endlich auf 0 abgebildet werden)
> auf die Basis und Jordanmatrix schließen zu können.
> Leuchtet Dir dieses Verfahren ein?
Ja, da hast Du recht
Irgendwie ist das Verfahren auch logisch:
Wenn B die dazugehörige Matrix ist, dann wählt man sich Vektoren [mm]v_{1}, v_{4}\not= 0[/mm] aus Kern[mm]\left(B^{3}\right)[/mm]
Dann ist [mm]v_{1},\ B*v_{1},\ B^{2}*v_{1},\ v_{4},\ B*v_{4},\ B^{2}*v_{4}[/mm] eine Basis
>
> Gruß,
> Rutzel
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
sei mir bitte nicht böse, wenn ich deinen Vorschlag nicht ganz "akzeptieren" kann. Für mich ist es wichtig, das Jordanzeugs erstmal so zu verstehen, wie wir es in der Uni machen, damit ich der Vorlesung auch noch weiterhin folgen kann.
Die gegebene Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0& 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0}
[/mm]
Das passiert mit den Standardvektoren, bei linksmult. mit der Matrix:
[mm] e_1->e_4
[/mm]
[mm] e_2->0
[/mm]
[mm] e_3->e_6
[/mm]
[mm] e_4->e_2
[/mm]
[mm] e_5->e_7
[/mm]
[mm] e_6->e_5
[/mm]
[mm] e_7->0
[/mm]
Alle "Iterationen" sodass alles auf 0 abgebildet wird:
[mm] e_3->e_6->e_5->e_7->e_0
[/mm]
[mm] e_1->e_4->e_2->0 [/mm]
Somit sind alle [mm] e_i [/mm] "vertreten". Man kann auf eine Basis schließen.
Als Basis habe ich:
[mm] B=(e_1, e_4, e_2, e_3, e_6, e_5, e_7) [/mm]
(ist die Reihenfolge hier wichtig? Bei einer Basis prinzipiell ja schon, aber die Jordanbasis ist ja nicht eindeutig.)
und als Jordanmatrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & & &
\\ 1 & 0 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 1 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 0 & 1 & 0 & & &
\\ & & & & 0 & 0 & 0
\\ & & & & 1 & 0 & 0
\\ & & & & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Ist das Korrekt?
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
> sei mir bitte nicht böse, wenn ich deinen Vorschlag nicht
> ganz "akzeptieren" kann. Für mich ist es wichtig, das
> Jordanzeugs erstmal so zu verstehen, wie wir es in der Uni
> machen, damit ich der Vorlesung auch noch weiterhin folgen
> kann.
Ja, mach das so, wie Du es am besten verstehst.
>
> Die gegebene Matrix:
> [mm]\pmat{ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0& 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0& 0 & 0 & 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das passiert mit den Standardvektoren, bei linksmult. mit
> der Matrix:
>
> [mm]e_1->e_4[/mm]
> [mm]e_2->0[/mm]
> [mm]e_3->e_6[/mm]
> [mm]e_4->e_2[/mm]
> [mm]e_5->e_7[/mm]
> [mm]e_6->e_5[/mm]
> [mm]e_7->0[/mm]
>
> Alle "Iterationen" sodass alles auf 0 abgebildet wird:
>
> [mm]e_3->e_6->e_5->e_7->e_0[/mm]
> [mm]e_1->e_4->e_2->0[/mm]
>
> Somit sind alle [mm]e_i[/mm] "vertreten". Man kann auf eine Basis
> schließen.
>
> Als Basis habe ich:
> [mm]B=(e_1, e_4, e_2, e_3, e_6, e_5, e_7)[/mm]
> (ist die Reihenfolge hier wichtig? Bei einer Basis
> prinzipiell ja schon, aber die Jordanbasis ist ja nicht
> eindeutig.)
Die Jordanbasis ist nicht eindeutig.
Du kannst hier als Basis auch wählen:
[mm]B_{1}=\left(e_{6}, \ e_{5}, \ e_{7}, \ e_{1}, \ e_{4}, \ e_{2}, \ e_{3}\right)[/mm]
[mm]B_{2}=\left(e_{7}, \ e_{5}, \ e_{6}, \ e_{3}, \ e_{2}, \ e_{4}, \ e_{1}\right)[/mm]
[mm]B_{3}=\left(\ e_{3}, \ e_{2}, \ e_{4}, \ e_{1}, \ e_{7}, \ e_{5}, \ e_{6}\right)[/mm]
Je nach Anordnung sieht die Jordannormalform anders aus.
>
> und als Jordanmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & & &
\\ 1 & 0 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 1 & 0 & 0 & & &
\\ 0 & 0 & 1 & 0 & & &
\\ & & & & 0 & 0 & 0
\\ & & & & 1 & 0 & 0
\\ & & & & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Ist das Korrekt?
Perfekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß,
> Rutzel
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Danke für deine Antwort, eine letzt Frage hätte ich allerdings noch.
Wie erkenne ich, welche Basis zu welcher Jordanmatrix gehört?
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> Wie erkenne ich, welche Basis zu welcher Jordanmatrix
> gehört?
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & 1 & 0 & & & \\ & & & & 0 & 0 & 0 \\ & & & & 1 & 0 & 0 \\ & & & & 0 & 1 & 0} [/mm] $
Hallo,
zu dieser Jordanmatrix gehört eine Basis [mm] (b_1,...,b_7), [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] b_1\mapsto b_2
[/mm]
[mm] b_2\mapsto b_3
[/mm]
[mm] b_3\mapsto b_4
[/mm]
[mm] b_4\mapsto [/mm] 0
[mm] b_5\mapsto b_6
[/mm]
[mm] b_6\mapsto b_7
[/mm]
[mm] b_7\mapsto [/mm] 0
Kannst ja mal gucken, welche Deiner Kandidaten infrage kommen.
Wenn die beiden Kästen getauscht sind, gehört eine [mm] Basis(b_1,...,b_7) [/mm] mit
[mm] b_1\mapsto b_2
[/mm]
[mm] b_2\mapsto b_3
[/mm]
[mm] b_3\mapsto [/mm] 0
[mm] b_4\mapsto b_5
[/mm]
[mm] b_5\mapsto b_6
[/mm]
[mm] b_6\mapsto b_7
[/mm]
[mm] b_7\mapsto [/mm] 0
dazu.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
>[...] mit
> folgenden Eigenschaften:
>
> [mm]b_1\mapsto b_2[/mm]
> [mm]b_2\mapsto b_3[/mm]
> [mm]b_3\mapsto b_4[/mm]
> [mm]b_4\mapsto[/mm]
> 0
>
> [mm]b_5\mapsto b_6[/mm]
> [mm]b_6\mapsto b_7[/mm]
> [mm]b_7\mapsto[/mm] 0
>
hallo, was meinst du mit "eigenschaften einer basis"? soll der erste basisvektor [mm] b_1 [/mm] durch linksmultiplikation mit
M:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 0 & 1 & 0 & & & \\ & & & & 0 & 0 & 0 \\ & & & & 1 & 0 & 0 \\ & & & & 0 & 1 & 0}
[/mm]
auf den zweiten basisvektor [mm] b_2 [/mm] abgebildet werden?
ich glaube nicht, weil dann hätte man eine "basis" mit zwei nullvektoren: [mm] (e_2, e_3, e_4, [/mm] 0, [mm] e_6, e_7, [/mm] 0) (und das ist ja per definition schon keine basis eines VR)
ich kann deine antwort insofern nachvollziehen:
durch linksmult. mit M wird ein einheitsvektor [mm] e_1 [/mm] auf [mm] e_2 [/mm] abgebildet. [mm] e_2 [/mm] auf [mm] e_3 [/mm] und so weiter. man erhält deine darstellung mit [mm] b_1->b_2 [/mm] usw.
wie bringt man das jedoch mit der basis zusammen?
Gruß,
Rutzel
Edit: Nehme ich die Basis [mm] B=(e_1, e_4, e_2, e_3, e_6, e_5, e_7)
[/mm]
und stelle die matrix aus der aufgabe bezüglich dieser basis dar, so kommt folgende jordanmatrix raus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & & & & \\ 1 & 0 & 0 & & & & \\ 0 & 1 & 0 & & & & \\ & & & 0 &0 & 0& 0\\ & & & 1& 0 & 0 & 0 \\ & & &0 & 1 & 0 & 0 \\ & & &0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
habe ich es jetzt richtig verstanden?
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> Edit: Nehme ich die Basis [mm]B=(e_1, e_4, e_2, e_3, e_6, e_5, e_7)[/mm]
>
> und stelle die matrix aus der aufgabe bezüglich dieser
> basis dar, so kommt folgende jordanmatrix raus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & & & & \\ 1 & 0 & 0 & & & & \\ 0 & 1 & 0 & & & & \\ & & & 0 &0 & 0& 0\\ & & & 1& 0 & 0 & 0 \\ & & &0 & 1 & 0 & 0 \\ & & &0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> habe ich es jetzt richtig verstanden?
Hallo,
ja, so hatte ich das gemeint.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Gut, dann habe ich das jetzt einigermaßen verstanden.
Danke für Eure Hilfe.
Gruß,
Rutzel
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