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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | a)Bestimmen Sie eine Jordansche Normalform für die Matrix
[mm] A:=\pmat{ 1 & i&2 \\ 0 & 5&0\\0&3i+4&5 }
[/mm]
Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie eine Matrix [mm] S\in [/mm] GL(3,C) mit SAS^-1 = N wobei N die in a) bestimmte Jordansche Normalform von A ist. |
Also zu a)
Ich muss das charakteristische Polynom berechnen und daraus die Eigenwerte.
Dann hängts bei mir leider schon....
Ich hoffe es kann mir einer erklären, wie man die Normalform berechnet.
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> a)Bestimmen Sie eine Jordansche Normalform für die Matrix
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> [mm]A:=\pmat{ 1 & i&2 \\
0 & 5&0\\
0&3i+4&5 }[/mm]
>
> Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> b) Bestimmen Sie eine Matrix [mm]S\in[/mm] GL(3,C) mit SAS^-1 = N
> wobei N die in a) bestimmte Jordansche Normalform von A
> ist.
>
> Also zu a)
>
> Ich muss das charakteristische Polynom berechnen und daraus
> die Eigenwerte.
Hallo,
das Ergebnis dieser Berechnungen solltest Du hier mitteilen, ebenso die von Dir errechneten Basen der Eigenräume zu den Eigenwerten.
Danach kann man weitermachen.
Gruß v. Angela
> Dann hängts bei mir leider schon....
> Ich hoffe es kann mir einer erklären, wie man die
> Normalform berechnet.
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Also mein charakteristisches Polynom: [mm] (\lambda -1)(\lambda -5)^2
[/mm]
Deshalb sind die Eigenwerte: [mm] \lambda_{1}=1 \lambda_{2}=5
[/mm]
dann die Eigenräume:
Für [mm] \lambda_{1}=1
[/mm]
(A-1 E)= [mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1\\0&0&0 }
[/mm]
und jetzt???
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Hallo sissenge,
> Also mein charakteristisches Polynom: [mm](\lambda -1)(\lambda -5)^2[/mm]
>
> Deshalb sind die Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}=1 \lambda_{2}=5[/mm]
>
> dann die Eigenräume:
> Für [mm]\lambda_{1}=1[/mm]
> (A-1 E)= [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1\\0&0&0 }[/mm]
>
> und jetzt???
Bestimme die Lösungsmenge davon.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Also ich habe inzwischen versucht den kern zubestimmen. Wie MathePower schon sagte eben das Gleichungssystem lösen.
Das heißt ich bekomme für [mm] \lambda_{1}: [/mm] den Kern [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
und für [mm] \lambda_{2} [/mm] den Kern [mm] \vektor{1/2 \\ 0\\1}
[/mm]
wobei ich mir beim zweiten unsicher bin!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
das ist ja schonmal schön:D
Und jetzt ??? ;)
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> das ist ja schonmal schön:D
>
> Und jetzt ??? ;)
Hallo,
jetzt informierst Du Dich mal ganz in Ruhe, wie JNFen aussehen und überlegst, was Du bereits in die JNF eintragen kannst.
Für eine [mm] 3\times3-JNF [/mm] mit 2 verschiedenen Eigenwerten gibt es nicht sehr viele Möglichkeiten. Welche hast Du zur Auswahl?
Anschließend mußt Du wählen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Leider weiß ich garnicht was ich jetzt schon reinschreiben kann und was ich jetzt noch machen muss??
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Hallo sissenge,
> Leider weiß ich garnicht was ich jetzt schon reinschreiben
> kann und was ich jetzt noch machen muss??
In die Matrix [mm]S^{-1}[/mm] kannst Du die berechneten Eigenvektoren reinschreiben.
Berechnen musst Du noch einen Vektor zum Eigenwert 5.
Da der Eigenwert 5 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt,
und die Dimension des Eigenraums zum Eigenvektor 5 gleich 1 ist,
muss dieser Vektor v der Gleichung
[mm]\left(A-5*E\right)^{2} \* \vec{v}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
genügen.
Dieser Vektor v darf aber nicht im Kern[mm]\left(A-5*E\right)[/mm] liegen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Aber die Matrix quadriert ergibt wieder die gleiche matrix und somit den gleichen Vektor..??? nämlich [mm] v_{1}=1/2v_{3} v_{2}=0???
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Aber die Matrix quadriert ergibt wieder die gleiche matrix
Nein, tut sie nicht.
Rechne vor: [mm](A-5\mathbb{E}_3)(A-5\mathbb{E}_3)=\pmat{-4&i&2\\
0&0&0\\
0&3i+4&0}\cdot{}\pmat{-4&i&2\\
0&0&0\\
0&3i+4&0}=\ldots[/mm]
Den Kern der Ergebnismatrix musst du bestimmen. Er ist 2-dimensional, einer der Basisvektoren ist schon im Kern von [mm]A-5\mathbb{E}_3[/mm], der andere nicht.
Diesen anderen brauchst du 
> und somit den gleichen Vektor..??? nämlich [mm]v_{1}=1/2v_{3} v_{2}=0???[/mm]
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
also dann kommt die matrix [mm] \pmat{ 16 & 2i+8 & -8 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 } [/mm] raus.
Das heißt mein Gleichungssystem ist dann 2x1+(1/4 i + 1)x2 - 8x3 =0
und jetzt??
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Hallo sissenge,
> also dann kommt die matrix [mm]\pmat{ 16 & 2i+8 & -8 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 }[/mm]
> raus.
>
> Das heißt mein Gleichungssystem ist dann 2x1+(1/4 i + 1)x2
> - 8x3 =0
>
> und jetzt??
Bestimme jetzt die Lösungen dieser Gleichung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Naja aber ich muss doch z.B. x2 und x3 beliebig setzten
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Hallo nochmal,
> Naja aber ich muss doch z.B. x2 und x3 beliebig setzten
Ja klar, aber mach das doch einfach mal ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 05.07.2011 | | Autor: | sissenge |
Das heißt ich setzte x2 und x3 einfach auf 1 oder wie?
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Hallo nochmal,
> Das heißt ich setzte x2 und x3 einfach auf 1 oder wie?
Bestimme den Kern doch allgemein, setze [mm] $x_3=t, x_2=s$ [/mm]
Damit bekommst du einen 2-dim. VR ...
Gruß
schachuzipus
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