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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 31.08.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo.
Ich habe folgende Frage zur bestimmung der Jordan-Normalform:
Gegeben sei die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1}
[/mm]
das characteristische Polynom lautet: [mm] (1-\lambda)^3, [/mm] mit algebraischer Vielfachheit 3. Der Eigenwerte ist [mm] \lambda=1.
[/mm]
Ich weiß nun, das ich die Haupträume ausrechnen muß.
es ist: [mm] dimker(A-E)=2=n_1 [/mm] und für [mm] dimker(A-E)^2 =3=n_2.
[/mm]
Weiter brauch ich ja nicht zu rechnen, da für [mm] dimker(A-E)^3, [/mm] die Dimension des Eigenraums sich ja nicht mehr ändert.
Soweit so gut. Nun weiß ich auch, das die Dimension des Eigenraums, die Anzahl der Jordanblöcke angibt. Ich weiß nur nicht was die Dimension des Hauptraums mir sagt?!( Ich habe gelesen, das sie die Anzahl des längsten Jordanblocks angibt, aber das kann ja nicht stimmen, da der größte Jordanblock das Format 2x2 hat. ersichtlich Matrix unten)
In der Übung haben wir zur Bestimmung der Jordanblöcke folgende Rechnung angewand : [mm] n_2-n_1 [/mm] = 1 und [mm] n_1= [/mm] 2. Aus dieser Rechnung wurde geschlossen, das es einen Jordanblock des Formates 2x2 und einen Jordanblock des Formates 1x1 gibt. das [mm] n_1=2 [/mm] die Anzahl der Jordanblöcke angibt verstehe ich noch, aber mir ist die Rechnung [mm] n_2-n_1=1 [/mm] sehr schleierhaft. Was sagt mir denn die 1 dort im Ergebniss über die Jordanblöcke aus? Ist das diese sogenannte weyr'sche Characteristik?
Das ist aufjdenfall den Punkt den ich nicht verstehe. Kann man auf die Größe der Jordanblöcke nicht irgentwie anders schließen? (mit der Information über die dim. des Eigen-,und Hauptraumes?!)
Als Ergebniss soll folgende Martrix rauskommen: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wäre sehr nett, wenn mir da einer bei helfen könnte. Schonmal Danke im voraus.
Gruß Benno
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo BennoO.,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Soweit so gut. Nun weiß ich auch, das die Dimension des
> Eigenraums, die Anzahl der Jordanblöcke angibt. Ich weiß
> nur nicht was die Dimension des Hauptraums mir sagt?!( Ich
> habe gelesen, das sie die Anzahl des längsten Jordanblocks
> angibt, aber das kann ja nicht stimmen, da der größte
> Jordanblock das Format 2x2 hat. ersichtlich Matrix unten)
>
> In der Übung haben wir zur Bestimmung der Jordanblöcke
> folgende Rechnung angewand : [mm]n_2-n_1[/mm] = 1 und [mm]n_1=[/mm] 2. Aus
> dieser Rechnung wurde geschlossen, das es einen Jordanblock
> des Formates 2x2 und einen Jordanblock des Formates 1x1
> gibt. das [mm]n_1=2[/mm] die Anzahl der Jordanblöcke angibt verstehe
> ich noch, aber mir ist die Rechnung [mm]n_2-n_1=1[/mm] sehr
> schleierhaft. Was sagt mir denn die 1 dort im Ergebniss
> über die Jordanblöcke aus? Ist das diese sogenannte
> weyr'sche Characteristik?
das wird die Formel sein, die Du meinst:
[mm]\begin{gathered}
N_l \left( \lambda \right)\; = \; - \dim \;Kern\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{l + 1} \; + \;2\;\dim \;Kern\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^l \; - \;\dim \;Kern\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{l - 1} \hfill \\
= \;Rang\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{l + 1} \; - \;2\;Rang\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^l \; + \;Rang\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{l - 1} \hfill \\ b\end{gathered} [/mm]
Dabei gibt die Zahl [mm]N_l \left( \lambda \right)[/mm] für den Eigenwert [mm]\lambda[/mm] die Anzahl der Jordanblöcke der Größe [mm]l[/mm] an.
> Das ist aufjdenfall den Punkt den ich nicht verstehe. Kann
> man auf die Größe der Jordanblöcke nicht irgentwie anders
> schließen? (mit der Information über die dim. des
> Eigen-,und Hauptraumes?!)
Ich halte auch nicht sonderlich viel von der obigen Formel.
Ich bestimme für den Eigenwert [mm]\lambda[/mm] solange Eigen- und Hauptvektoren, bis die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] erreicht ist.
Das mache ich dann nach folgender Formel:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^k \;e_k \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{k\; - \;1} \;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_k \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^{k\; - \;1} \;e_{k\; - \;1} \; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_k \; = \;e_{k\; - \;1} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dabei ist [mm]e_{k}[/mm] der Eigenvektor k-ter Stufe.
>
>
> Als Ergebniss soll folgende Martrix rauskommen: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
Mit der Formel kannst Du das bestätigen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:25 Do 01.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
vielen dank für deine schnelle antwort. musste mit dieser formel die du mir geposstet hast, erstmal zurecht kommen, aber ich denke ich habs jetzt.
gruß Benno
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