Jordan Normalform bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper und [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }. [/mm]
Man berechne eine Matrix Q [mm] \in Gl_{6}(K) [/mm] derart, dass [mm] Q^{-1}*A*Q [/mm] aus Jordan-Blöcken besteht. |
Hallo zusammen^^
Ich versuche gad die Aufgabe zu lösen,aber komme nicht mehr weiter. Wir hatten dazu eine Vorgehensweise aufgeschrieben und nach der hab ich das auch gemacht.
1."Eigenwerte von A bestimmen und deren algebraische und geometrische Vielfachheiten".
Ich habe den Eigenwert 2 mit der algebraischen Vielfachheit 6. Die geometrische Vielfachheit ist doch einfach dim [mm] ker(2*E_{6}-A) [/mm] oder? Dafür hab ich 4.
2. "Man bestimme zu jedem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] die Zahlen [mm] a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{\gamma_{\lambda}}".
[/mm]
Hier hab ich [mm] a_{0}=0 [/mm] (das hatten wir so festgelegt), [mm] a_{1}=6-2=4, a_{2}=6-0=6=a_{3}.
[/mm]
3."Man bestimme zu jedem [mm] \lambda \in [/mm] Spec A, i [mm] \in \{1,...,\gamma=\gamma_{\lambda}\} [/mm] eine Basis [mm] B_{i} [/mm] von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{i}".
[/mm]
Es ist also i [mm] \in \{1,2,3\} [/mm] und ich habe den Eigenwert 2. Wenn ich das richtig verstehe muss ich doch jeweils eine Basis von [mm] ker(2*E_{6}-A)^{1},ker(2*E_{6}-A)^{2},ker(2*E_{6}-A)^{3} [/mm] bestimmen oder?
Eine Basis von [mm] ker(2*E_{6}-A)^{1} [/mm] ist [mm] B_{1}:=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\}.
[/mm]
Stimmt das so?
Und es ist [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2}=0=ker(2*E_{6}-A)^{3}.
[/mm]
Dann sind die Basen von [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] und [mm] ker(2*E_{6}-A)^{3} [/mm] jeweils die leere Menge. Wie kann das denn sein?
Kann das so stimmen oder habe ich hier etwas falsch gemacht?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Seien K ein Körper und [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 }.[/mm]
> Man berechne eine Matrix Q [mm]\in Gl_{6}(K)[/mm] derart, dass
> [mm]Q^{-1}*A*Q[/mm] aus Jordan-Blöcken besteht.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich versuche gad die Aufgabe zu lösen,aber komme nicht
> mehr weiter. Wir hatten dazu eine Vorgehensweise
> aufgeschrieben und nach der hab ich das auch gemacht.
>
> 1."Eigenwerte von A bestimmen und deren algebraische und
> geometrische Vielfachheiten".
>
> Ich habe den Eigenwert 2 mit der algebraischen Vielfachheit
> 6. Die geometrische Vielfachheit ist doch einfach dim
> [mm]ker(2*E_{6}-A)[/mm] oder? Dafür hab ich 4.
>
> 2. "Man bestimme zu jedem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] die Zahlen
> [mm]a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{\gamma_{\lambda}}".[/mm]
>
> Hier hab ich [mm]a_{0}=0[/mm] (das hatten wir so festgelegt),
> [mm]a_{1}=6-2=4, a_{2}=6-0=6=a_{3}.[/mm]
>
> 3."Man bestimme zu jedem [mm]\lambda \in[/mm] Spec A, i [mm]\in \{1,...,\gamma=\gamma_{\lambda}\}[/mm]
> eine Basis [mm]B_{i}[/mm] von [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{i}".[/mm]
>
> Es ist also i [mm]\in \{1,2,3\}[/mm] und ich habe den Eigenwert 2.
> Wenn ich das richtig verstehe muss ich doch jeweils eine
> Basis von
> [mm]ker(2*E_{6}-A)^{1},ker(2*E_{6}-A)^{2},ker(2*E_{6}-A)^{3}[/mm]
> bestimmen oder?
Ja, das ist richtig.
>
> Eine Basis von [mm]ker(2*E_{6}-A)^{1}[/mm] ist [mm]B_{1}:=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\}.[/mm]
Diese Basis muss aus 4 Vektoren bestehen, da [mm]\operatorname{dim}\left( \ \operatorname{ker}\left(2*E_{6}-A\right) \ \right)=4[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Und es ist [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}=0=ker(2*E_{6}-A)^{3}.[/mm]
>
> Dann sind die Basen von [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] und
> [mm]ker(2*E_{6}-A)^{3}[/mm] jeweils die leere Menge. Wie kann das
> denn sein?
> Kann das so stimmen oder habe ich hier etwas falsch
> gemacht?
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Eine Basis von [mm]ker(2*E_{6}-A)^{1}[/mm] ist [mm]B_{1}:=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\}.[/mm]
>
>
> Diese Basis muss aus 4 Vektoren bestehen, da
> [mm]\operatorname{dim}\left( \ \operatorname{ker}\left(2*E_{6}-A\right) \ \right)=4[/mm]
Ok.Ich habe zunächst das Gleichungssystem:
1. [mm] -x_{5}+x_{6}=0
[/mm]
2. [mm] -x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0
[/mm]
Das heißt, [mm] x_{1} [/mm] ist beliebig und [mm] x_{5}=x_{6}. [/mm] Eine Basis wäre doch dann
[mm] B=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\}, [/mm] richtig?
>
>
Aber was mache ich denn mit [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] und [mm] ker(2*E_{6}-A)^{3}? [/mm] Denn es ist . Wäre dann eine Basis von [mm] Ker((2*E_{6}-A)^{2})=0=ker((2*E_{6}-A)^{3}) [/mm] nicht einfach [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}?
[/mm]
Wenn das soweit richtig ist, kann ich ja zum nächsten Schritt kommen:
4."Konstruiere für jedes i (absteigend) induktiv eine Basis [mm] C_{i} [/mm] für die j [mm] \times [/mm] j-Jordanblöcke mit j [mm] \ge [/mm] i wie folgt.
4.1. [mm] i=\gamma [/mm] : ergänze die Basis [mm] B_{\gamma-1} [/mm] von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1} [/mm] zu einer Basis von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}.Diese [/mm] Vektoren von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}\ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1} [/mm] heißen Hauptvektoren der Stufe [mm] \gamma.
[/mm]
Ich habe also i=3 und muss die Basis [mm] B_{2} [/mm] von [mm] ker(\lambda*E_{2}-A)^{2} [/mm] zu einer Basis von [mm] ker(\lambda*E_{2}-A)^{3} [/mm] ergänzen. Aber es ist [mm] ker(\lambda*E_{2}-A)^{2}=ker(\lambda*E_{2}-A)^{3}, [/mm] somit sind auch die Basen gleich und ich brauche nichts zu ergänzen. Und es gibt auch keine Vektoren, die in [mm] ker(\lambda*E_{2}_A)^{3} [/mm] enthalten sind, aber nicht in [mm] ker(\lambda*E_{2}-A)^{2}. [/mm]
Heißt das, es gibt auch keine Hauptvektoren?
Was mach ich denn jetzt, stimmt das überhaupt so bis hier hin?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Eine Basis von [mm]ker(2*E_{6}-A)^{1}[/mm] ist [mm]B_{1}:=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\}.[/mm]
>
> >
> >
> > Diese Basis muss aus 4 Vektoren bestehen, da
> > [mm]\operatorname{dim}\left( \ \operatorname{ker}\left(2*E_{6}-A\right) \ \right)=4[/mm]
>
> Ok.Ich habe zunächst das Gleichungssystem:
> 1. [mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
> 2. [mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
>
> Das heißt, [mm]x_{1}[/mm] ist beliebig und [mm]x_{5}=x_{6}.[/mm] Eine Basis
> wäre doch dann
> [mm]B=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\},[/mm]
> richtig?
> >
Dies Vektoren sind keine Elemente des Kerns.
Das ist leider nicht richtig.
Löse das Gleichungssystem nach den [mm]x_{k}, \ k=1,2,3,4,5,6[/mm] auf,
und schreibe das in der Form
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=\alpha*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\beta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}+\gamma*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....} +\delta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}. \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \IR[/mm]
> >
> Aber was mache ich denn mit [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] und
> [mm]ker(2*E_{6}-A)^{3}?[/mm] Denn es ist . Wäre dann eine Basis von
> [mm]Ker((2*E_{6}-A)^{2})=0=ker((2*E_{6}-A)^{3})[/mm] nicht einfach
> [mm]B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}?[/mm]
>
> Wenn das soweit richtig ist, kann ich ja zum nächsten
> Schritt kommen:
>
> 4."Konstruiere für jedes i (absteigend) induktiv eine
> Basis [mm]C_{i}[/mm] für die j [mm]\times[/mm] j-Jordanblöcke mit j [mm]\ge[/mm] i
> wie folgt.
>
> 4.1. [mm]i=\gamma[/mm] : ergänze die Basis [mm]B_{\gamma-1}[/mm] von
> [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1}[/mm] zu einer Basis von
> [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}.Diese[/mm] Vektoren von
> [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}\ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1}[/mm]
> heißen Hauptvektoren der Stufe [mm]\gamma.[/mm]
>
> Ich habe also i=3 und muss die Basis [mm]B_{2}[/mm] von
> [mm]ker(\lambda*E_{2}-A)^{2}[/mm] zu einer Basis von
> [mm]ker(\lambda*E_{2}-A)^{3}[/mm] ergänzen. Aber es ist
> [mm]ker(\lambda*E_{2}-A)^{2}=ker(\lambda*E_{2}-A)^{3},[/mm] somit
> sind auch die Basen gleich und ich brauche nichts zu
> ergänzen. Und es gibt auch keine Vektoren, die in
> [mm]ker(\lambda*E_{2}_A)^{3}[/mm] enthalten sind, aber nicht in
> [mm]ker(\lambda*E_{2}-A)^{2}.[/mm]
> Heißt das, es gibt auch keine Hauptvektoren?
> Was mach ich denn jetzt, stimmt das überhaupt so bis hier
> hin?
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > Ok.Ich habe zunächst das Gleichungssystem:
> > 1. [mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
> > 2. [mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
> >
> > Das heißt, [mm]x_{1}[/mm] ist beliebig und [mm]x_{5}=x_{6}.[/mm] Eine Basis
> > wäre doch dann
> > [mm]B=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\},[/mm]
> > richtig?
> > >
>
>
> Dies Vektoren sind keine Elemente des Kerns.
>
> Das ist leider nicht richtig.
>
> Löse das Gleichungssystem nach den [mm]x_{k}, \ k=1,2,3,4,5,6[/mm]
> auf,
> und schreibe das in der Form
>
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=\alpha*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\beta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}+\gamma*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....} +\delta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}. \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \IR[/mm]
>
Irgendwie krieg ich es nicht auf die Reihe eine Basis des Kerns zu bestimmen. Ich hab jetzt nach den [mm] x_{i}, [/mm] i=1,2,3,4,5,6 aufgelöst und habe:
[mm] x_{1}=x_{1}
[/mm]
[mm] x_{2}=x_{3}-2x_{4}+2x_{5}
[/mm]
[mm] x_{3}=x_{2}+2x_{4}+2x_{5}
[/mm]
[mm] x_{4}=-0.5x_{2}+0.5x_{3}+x_{5}
[/mm]
[mm] x_{5}=x_{5}
[/mm]
[mm] x_{6}=x_{5}
[/mm]
So, jetzt schreib ich das so wie du gesagt hast:
[mm] \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{2}*\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}*\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}*\pmat{0 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}*\pmat{0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }.
[/mm]
Jetzt hab ich wieder 5 Vektoren. Ich versteh einfach nicht, wieso es nicht klappt.
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo,
>
> > > Ok.Ich habe zunächst das Gleichungssystem:
> > > 1. [mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
> > > 2. [mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
> > >
> > > Das heißt, [mm]x_{1}[/mm] ist beliebig und [mm]x_{5}=x_{6}.[/mm] Eine Basis
> > > wäre doch dann
> > > [mm]B=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}\},[/mm]
> > > richtig?
> > > >
> >
> >
> > Dies Vektoren sind keine Elemente des Kerns.
> >
> > Das ist leider nicht richtig.
> >
> > Löse das Gleichungssystem nach den [mm]x_{k}, \ k=1,2,3,4,5,6[/mm]
> > auf,
> > und schreibe das in der Form
> >
> > [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=\alpha*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\beta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}+\gamma*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....} +\delta*\pmat{ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ....}. \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \IR[/mm]
>
> >
>
> Irgendwie krieg ich es nicht auf die Reihe eine Basis des
> Kerns zu bestimmen. Ich hab jetzt nach den [mm]x_{i},[/mm]
> i=1,2,3,4,5,6 aufgelöst und habe:
> [mm]x_{1}=x_{1}[/mm]
> [mm]x_{2}=x_{3}-2x_{4}+2x_{5}[/mm]
> [mm]x_{3}=x_{2}+2x_{4}+2x_{5}[/mm]
> [mm]x_{4}=-0.5x_{2}+0.5x_{3}+x_{5}[/mm]
> [mm]x_{5}=x_{5}[/mm]
> [mm]x_{6}=x_{5}[/mm]
>
> So, jetzt schreib ich das so wie du gesagt hast:
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{2}*\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}*\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}*\pmat{0 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}*\pmat{0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }.[/mm]
>
> Jetzt hab ich wieder 5 Vektoren. Ich versteh einfach nicht,
> wieso es nicht klappt.
Entweder stellst Du [mm]x_{2}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{3}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm] oder
eben [mm]x_{3}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{2}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]
dar. Beides geht aber nicht.
Die Gleichungen
[mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
[mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
sind die Richtigen.
>
> Vielen Dank
> lg
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Entweder stellst Du [mm]x_{2}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{3}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]
> oder
> eben [mm]x_{3}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{2}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]
>
> dar. Beides geht aber nicht.
>
> Die Gleichungen
>
> [mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
> [mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
>
> sind die Richtigen.
Ich glaube jetzt hab ichs:
[mm] \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }.
[/mm]
Stimmt es denn nun?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Entweder stellst Du [mm]x_{2}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{3}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]
> > oder
> > eben [mm]x_{3}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{2}, \ x_{4}, \ x_{5}[/mm]
>
> >
> > dar. Beides geht aber nicht.
> >
> > Die Gleichungen
> >
> > [mm]-x_{5}+x_{6}=0[/mm]
> > [mm]-x_{2}+x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=0[/mm]
> >
> > sind die Richtigen.
>
> Ich glaube jetzt hab ichs:
>
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }.[/mm]
>
> Stimmt es denn nun?
Ja, jetzt stimmt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich glaube jetzt hab ichs:
> >
> > [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }.[/mm]
>
> >
> > Stimmt es denn nun?
>
>
> Ja, jetzt stimmt es.
Puh. Jetzt brauche ich noch jeweils eine Basis von [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] und [mm] ker(2*E_{6}-A)^{3}. [/mm] Es ist [mm] (2*E_{6}-A)^{2}=(2*E_{6}-A)^{3}=0. [/mm] Also ist eine Basis davon [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}.
[/mm]
Richtig?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Ich glaube jetzt hab ichs:
> > >
> > > [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Stimmt es denn nun?
> >
> >
> > Ja, jetzt stimmt es.
>
> Puh. Jetzt brauche ich noch jeweils eine Basis von
> [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] und [mm]ker(2*E_{6}-A)^{3}.[/mm] Es ist
> [mm](2*E_{6}-A)^{2}=(2*E_{6}-A)^{3}=0.[/mm] Also ist eine Basis
> davon [mm]B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}.[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
Jetzt musst Du prüfen, welche von denen
nicht im Kern von [mm](2*E_{6}-A)[/mm] liegen.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Jetzt musst Du prüfen, welche von denen
> nicht im Kern von [mm](2*E_{6}-A)[/mm] liegen.
>
Ok.Wir hatten uns das so aufgeschrieben:
[mm] 1.i=\gamma: [/mm] ergänze die Basis [mm] B_{\gamma-1} [/mm] von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1} [/mm] zu einer Basis von [mm] ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}.
[/mm]
Ich muss also die Basis von [mm] ker(2*E_{6}-A) [/mm] zu einer Basis von [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] ergänzen oder? Und wie du sagtest, überprüfen,welche Vektoren aus [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] nicht in [mm] ker(2*E_{6}-A)^ [/mm] liegen.
Aber wie überprüft man das denn, welche Vektoren aus [mm] ker(2*E_{6}-A)^{2} [/mm] nicht in [mm] ker(2*E_{6}-A)^ [/mm] liegen. Ich kenn da jetzt keine Vorgehensweise dafür. Ich hab im Skript geguckt und in dem Beispiel dort steht: " [mm] 2*a_{3}-a_{2}-a_{4}=1 [/mm] --> es gibt nur einen solchen Vektor". Ich versteh aber nicht,was da gemacht wurde.
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Jetzt musst Du prüfen, welche von denen
> > nicht im Kern von [mm](2*E_{6}-A)[/mm] liegen.
> >
>
> Ok.Wir hatten uns das so aufgeschrieben:
>
> [mm]1.i=\gamma:[/mm] ergänze die Basis [mm]B_{\gamma-1}[/mm] von
> [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma-1}[/mm] zu einer Basis von
> [mm]ker(\lambda*E_{n}-A)^{\gamma}.[/mm]
>
> Ich muss also die Basis von [mm]ker(2*E_{6}-A)[/mm] zu einer Basis
> von [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] ergänzen oder? Und wie du sagtest,
> überprüfen,welche Vektoren aus [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] nicht
> in [mm]ker(2*E_{6}-A)^[/mm] liegen.
>
> Aber wie überprüft man das denn, welche Vektoren aus
> [mm]ker(2*E_{6}-A)^{2}[/mm] nicht in [mm]ker(2*E_{6}-A)^[/mm] liegen. Ich
> kenn da jetzt keine Vorgehensweise dafür. Ich hab im
> Skript geguckt und in dem Beispiel dort steht: "
> [mm]2*a_{3}-a_{2}-a_{4}=1[/mm] --> es gibt nur einen solchen
> Vektor". Ich versteh aber nicht,was da gemacht wurde.
Untersuche das Gleichungssystem
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
auf Unlösbarkeit.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 10.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Untersuche das Gleichungssystem
>
> [mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> auf Unlösbarkeit.
Ok, also nehmen wir an, dass die Vektoren [mm] \pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} } [/mm] aus [mm] ker(2E_{6}-A)^{2} [/mm] sind.
Dann löse ich das Gleichungssystem und habe
1. [mm] x_{1}=y_{1}
[/mm]
2. [mm] x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}
[/mm]
3. [mm] x_{3}=y_{3}
[/mm]
4. [mm] x_{4}=y_{4}
[/mm]
5. [mm] x_{5}=y_{5}
[/mm]
6. [mm] x_{5}=y_{6}
[/mm]
Das Gleichungssystem ist unlösbar, wenn [mm] y_{5} \not=0 [/mm] und [mm] y_{6}=0 [/mm] und für die abderen [mm] y_{i}, [/mm] i=1,...,4 gibt es keine Einschränkung.
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Untersuche das Gleichungssystem
> >
> > [mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} }=x_{1}\cdot{}\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{3}\cdot{}\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+x_{4}\cdot{}\pmat{0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }+x_{5}\cdot{}\pmat{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> >
> > auf Unlösbarkeit.
>
> Ok, also nehmen wir an, dass die Vektoren [mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} }[/mm]
> aus [mm]ker(2E_{6}-A)^{2}[/mm] sind.
> Dann löse ich das Gleichungssystem und habe
>
> 1. [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> 2. [mm]x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}[/mm]
> 3. [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> 4. [mm]x_{4}=y_{4}[/mm]
> 5. [mm]x_{5}=y_{5}[/mm]
> 6. [mm]x_{5}=y_{6}[/mm]
>
> Das Gleichungssystem ist unlösbar, wenn [mm]y_{5} \not=0[/mm] und
> [mm]y_{6}=0[/mm] und für die abderen [mm]y_{i},[/mm] i=1,...,4 gibt es keine
> Einschränkung.
> Stimmt das so?
Leider nicht.
Das Gleichungssystem ist generell für [mm]y_{5} \not= y_{6}[/mm] unlösbar.
Ausserdem gibt es noch eine zweite Bedingung
bei der das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 10.04.2011 | | Autor: | Beta10 |
Hallo,
sitze grade an der selben Aufgabe und habe eine Frage zum nächsten Schritt.
Da es nun ja zwei Bedingungen gibt, für die das Gleichungssystem nicht lösbar ist, heißt das, dass es jetzt zwei Hauptvektoren dieser Stufe gibt?
Ich habe an folgende Hauptvektoren gedacht: x= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm], y=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]. Sind das Hauptvektoren der Stufe 2?
Wenn ja, muss ich dann als nächstes doch $(A- [mm] \lambda\cdot{}E_{n})\cdot [/mm] x$ und $(A- [mm] \lambda\cdot{}E_{n})\cdot [/mm] y$ berechnen, oder? Dann habe ich schon mal folgende vier Vektoren, die ich in meine gesuchte Matrix eintragen kann: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Stimmt das bis hierhin? Wie erhalte ich jetzt die Hauptvektoren der nächsten Stufe?
Vielen Dank für Eure Hilfe
beta10
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Hallo Beta10,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> sitze grade an der selben Aufgabe und habe eine Frage zum
> nächsten Schritt.
> Da es nun ja zwei Bedingungen gibt, für die das
> Gleichungssystem nicht lösbar ist, heißt das, dass es
> jetzt zwei Hauptvektoren dieser Stufe gibt?
Nein.
>
> Ich habe an folgende Hauptvektoren gedacht: x=
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm],
> y=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
> Sind das Hauptvektoren der Stufe 2?
Ja.
>
> Wenn ja, muss ich dann als nächstes doch [mm](A- \lambda\cdot{}E_{n})\cdot x[/mm]
> und [mm](A- \lambda\cdot{}E_{n})\cdot y[/mm] berechnen, oder? Dann
> habe ich schon mal folgende vier Vektoren, die ich in meine
> gesuchte Matrix eintragen kann: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Hier muss es doch so lauten:
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} \blue{-}7 \\ \blue{-}7 \\ \blue{-}7 \\ \blue{-}1 \\ \blue{-}1 \\ \blue{-}1 \end{pmatrix}[/mm],[mm]\begin{pmatrix} \blue{+}2\\ \blue{+}2\\ \blue{+}2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Schreibe das besser so:
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ -7 \\ -1 \\-1 \\ -1 \end{pmatrix}.\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} +2\\ +2\\ +2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin? Wie erhalte ich jetzt die
> Hauptvektoren der nächsten Stufe?
Jetzt brauchst Du noch 2 Vektoren aus [mm]\operatorname{ker}\left(A-2*E_{6}\right)[/mm],
die dazu linear unabhängig sind.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe
> beta10
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 10.04.2011 | | Autor: | Beta10 |
Vielen Dank,
ich habe jetzt die zugehörige Matrix bestimmen können.
Eine Frage bleibt jedoch noch: Woher weiß ich denn, wieviele Hauptvektoren es von jeder Stufe gibt?
Gruß
beta10
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Hallo Beta10,
> Vielen Dank,
> ich habe jetzt die zugehörige Matrix bestimmen können.
>
> Eine Frage bleibt jedoch noch: Woher weiß ich denn,
> wieviele Hauptvektoren es von jeder Stufe gibt?
Im Voraus weisst Du das nicht.
Zunächst bestimmst Du wieviele Hauptvektoren 1. Stufe es
zu jedem Eigenwert gibt. Dies ist die geometrische Vielfachheit.
Ist die algebraische Vielfachheit größer als die geometrische
Vielfachheit eines Eigenwertes, dann benötigst Du weitere
Hauptvektoren zu diesem Eigenwert.
>
> Gruß
> beta10
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 10.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 1. [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> > 2. [mm]x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}[/mm]
> > 3. [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> > 4. [mm]x_{4}=y_{4}[/mm]
> > 5. [mm]x_{5}=y_{5}[/mm]
> > 6. [mm]x_{5}=y_{6}[/mm]
> Das Gleichungssystem ist generell für [mm]y_{5} \not= y_{6}[/mm]
> unlösbar.
>
> Ausserdem gibt es noch eine zweite Bedingung
> bei der das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
Ist die andere Bedingung, dass es für [mm] y_{3}=y_{2} [/mm] und [mm] y_{4}=y_{5} [/mm] nicht lösbar ist?
lg
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HAllo Mandy_90,
>
> > > 1. [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> > > 2. [mm]x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}[/mm]
> > > 3. [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> > > 4. [mm]x_{4}=y_{4}[/mm]
> > > 5. [mm]x_{5}=y_{5}[/mm]
> > > 6. [mm]x_{5}=y_{6}[/mm]
>
> > Das Gleichungssystem ist generell für [mm]y_{5} \not= y_{6}[/mm]
> > unlösbar.
> >
> > Ausserdem gibt es noch eine zweite Bedingung
> > bei der das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
>
> Ist die andere Bedingung, dass es für [mm]y_{3}=y_{2}[/mm] und
> [mm]y_{4}=y_{5}[/mm] nicht lösbar ist?
Leider nein.
Die zweite Bedingung ist aus 2. ablesbar.
Da [mm]x_{3}[/mm] bestimmt ist, ergibt sich ...
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 10.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> HAllo Mandy_90,
>
> >
> > > > 1. [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> > > > 2. [mm]x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}[/mm]
> > > > 3. [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> > > > 4. [mm]x_{4}=y_{4}[/mm]
> > > > 5. [mm]x_{5}=y_{5}[/mm]
> > > > 6. [mm]x_{5}=y_{6}[/mm]
> >
> > > Das Gleichungssystem ist generell für [mm]y_{5} \not= y_{6}[/mm]
> > > unlösbar.
> > >
> > > Ausserdem gibt es noch eine zweite Bedingung
> > > bei der das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
> >
> > Ist die andere Bedingung, dass es für [mm]y_{3}=y_{2}[/mm] und
> > [mm]y_{4}=y_{5}[/mm] nicht lösbar ist?
>
>
> Leider nein.
>
> Die zweite Bedingung ist aus 2. ablesbar.
>
> Da [mm]x_{3}[/mm] bestimmt ist, ergibt sich ...
Achso, für [mm] y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5}, [/mm] dann ist es unlösbar ?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > HAllo Mandy_90,
> >
> > >
> > > > > 1. [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> > > > > 2. [mm]x_{3}=y_{2}+2y_{4}-2x_{5}[/mm]
> > > > > 3. [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
> > > > > 4. [mm]x_{4}=y_{4}[/mm]
> > > > > 5. [mm]x_{5}=y_{5}[/mm]
> > > > > 6. [mm]x_{5}=y_{6}[/mm]
> > >
> > > > Das Gleichungssystem ist generell für [mm]y_{5} \not= y_{6}[/mm]
> > > > unlösbar.
> > > >
> > > > Ausserdem gibt es noch eine zweite Bedingung
> > > > bei der das Gleichungssystem nicht lösbar ist.
> > >
> > > Ist die andere Bedingung, dass es für [mm]y_{3}=y_{2}[/mm] und
> > > [mm]y_{4}=y_{5}[/mm] nicht lösbar ist?
> >
> >
> > Leider nein.
> >
> > Die zweite Bedingung ist aus 2. ablesbar.
> >
> > Da [mm]x_{3}[/mm] bestimmt ist, ergibt sich ...
>
> Achso, für [mm]y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5},[/mm] dann ist es
> unlösbar ?
Richtig.
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Achso, für [mm]y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5},[/mm] dann ist es
> > unlösbar ?
>
>
> Richtig.
Ok, Danke. Jetzt weiß ich, dass das LGS für [mm] y_{5} \not=y_{6} [/mm] und [mm] y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5} [/mm] unlösbar ist, d.h. dass die Vektoren, für die dies gilt, im Kern von [mm] (2*E_{6}-A)^{2} [/mm] liegen, aber nicht im Kern von [mm] (2*E_{6}-A).
[/mm]
Sind das jetzt die Hauptvektoren der Stufe 2? Ich versteh aber nicht ganz, wie ich jetzt konkrete Vektoren bekomme. Wie kommt man auf die Hauptvektoren [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Achso, für [mm]y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5},[/mm] dann ist es
> > > unlösbar ?
> >
> >
> > Richtig.
>
> Ok, Danke. Jetzt weiß ich, dass das LGS für [mm]y_{5} \not=y_{6}[/mm]
> und [mm]y_{3} \not=y_{2}+2y_{4}-2y_{5}[/mm] unlösbar ist, d.h. dass
> die Vektoren, für die dies gilt, im Kern von
> [mm](2*E_{6}-A)^{2}[/mm] liegen, aber nicht im Kern von
> [mm](2*E_{6}-A).[/mm]
> Sind das jetzt die Hauptvektoren der Stufe 2? Ich versteh
Jetzt hast Du erstmal die Bedingungen dafür geschaffen,
Hauptvektoren der Stufe 2 wählen zu können.
> aber nicht ganz, wie ich jetzt konkrete Vektoren bekomme.
> Wie kommt man auf die Hauptvektoren [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> ?
Die sind gemäß den Einschränkungen gewählt worden.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Jetzt hast Du erstmal die Bedingungen dafür geschaffen,
> Hauptvektoren der Stufe 2 wählen zu können.
>
>
> > aber nicht ganz, wie ich jetzt konkrete Vektoren bekomme.
> > Wie kommt man auf die Hauptvektoren [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> > und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > ?
>
>
> Die sind gemäß den Einschränkungen gewählt worden.
Genau, das ist mir auch aufgefallen. Verstehe ich das jetzt richtig, dass wenn ich Hauptvektoren der Stufe 2 suche, dann kann ich mir irgendwelche 2 Vektoren aussuchen,die die Bedingung des LGS erfüllen ?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> >
> > Jetzt hast Du erstmal die Bedingungen dafür geschaffen,
> > Hauptvektoren der Stufe 2 wählen zu können.
> >
> >
> > > aber nicht ganz, wie ich jetzt konkrete Vektoren bekomme.
> > > Wie kommt man auf die Hauptvektoren [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> > > und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > > ?
> >
> >
> > Die sind gemäß den Einschränkungen gewählt worden.
>
> Genau, das ist mir auch aufgefallen. Verstehe ich das jetzt
> richtig, dass wenn ich Hauptvektoren der Stufe 2 suche,
> dann kann ich mir irgendwelche 2 Vektoren aussuchen,die die
> Bedingung des LGS erfüllen ?
Ja, falls mit Bedingungen, die Bedingungen gemeint sind,
wann das LGS nicht lösbar ist.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 12.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok. Kann ich dann schonmal die Vektoren [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \\ -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] für die Matrix Q eintragen?
So, jetzt muss ich Hauptvektoren der Stufe 1 suchen. Diese müssen in [mm] ker(2*E_{6}-A) [/mm] liegen aber in was dürfen die denn jetzt nicht liegen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Ok. Kann ich dann schonmal die Vektoren [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \\ -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
> für die Matrix Q eintragen?
>
> So, jetzt muss ich Hauptvektoren der Stufe 1 suchen. Diese
> müssen in [mm]ker(2*E_{6}-A)[/mm] liegen aber in was dürfen die
> denn jetzt nicht liegen?
>
Diese Haupvektoren 1. Stufe müssen, zusammen mit den
oben genannten 4 Vektoren eine Basis bilden, also
linear unabhängig sein.
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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