Jordan Normalform, f nilpotent < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei f [mm] \in End_{K}(V) [/mm] mit n = [mm] dim_{K}(V) [/mm] und [mm] \mu_{f} [/mm] = [mm] t^{n}. [/mm] Bestimmen Sie für i = 1, ..., n die Jordansche Normalform von [mm] f^{i}. [/mm] |
Hallo,
mein Beweis sieht im Moment wie folgt aus:
Nach Voraussetzung ist f [mm] \in End_{K}(V), dim_{K}(V) [/mm] = n und [mm] \mu_{f} [/mm] = [mm] t^{n}.
[/mm]
Sei [mm] p_{f} [/mm] das charakteristische Polynom von f.
Es gilt: [mm] \mu_{f} [/mm] | [mm] p_{f} [/mm]
[mm] \Rightarrow p_{f} [/mm] = q * [mm] \mu_{f} [/mm] für ein q [mm] \in [/mm] K[t], und [mm] p_{f} [/mm] lässt sich immer in der Form [mm] p_{f} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \alpha_{n-1} [/mm] * [mm] t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{0} [/mm] schreiben.
[mm] \Rightarrow p_{f} [/mm] = q * [mm] t^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] q = [mm] (-1)^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow p_{f} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] t^{n} [/mm] und [mm] p_{f} [/mm] zerfällt in Linearfaktoren, und hat nur den Eigenwert 0. Mithin existiert also eine Jordansche Normalform.
Es ist [mm] \mu_{f}(f) [/mm] = [mm] f^{n} [/mm] = 0, d.h. f hat den Nilpotenzgrad n, da das Minimalpolynom das kleinste Polynom ist, dass f annuliert.
Sei B die Jordanbasis von V.
[mm] \Rightarrow M_{B}^{B}(f) [/mm] = [mm] J_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{B}^{B}(f^{i}) [/mm] = [mm] (M_{B}^{B}(f))^{i} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Für i = 1, ..., n rutschen Einsen also immer weiter nach oben rechts.
[mm] \Rightarrow p_{f^{i}} [/mm] = [mm] p_{f} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] t^{n}.
[/mm]
Es gilt weiterhin: 0 = [mm] Ker(f^{0}) \subset [/mm] Ker(f) [mm] \subset [/mm] ... [mm] \subset Ker(f^{n}) [/mm] = V = Hau(f, 0) = [mm] Ker(f^{k}) \forall [/mm] k > n. (Man beachte, dass es sich hierbei um echte Teilmengen handelt)
Es ist [mm] Eig(f^{i}, [/mm] 0) = [mm] Ker(f^{i}) \gdw dim_{K}(Eig(f^{i}, [/mm] 0)) = [mm] dim_{K}(Ker(f^{i})).
[/mm]
Mithin gibt es also n+1 unterschiedliche Kerne, wobei die Dimension der Kerne von unten nach oben immer um genau eins größer wird, und somit die Anzahl der Jordanblöcke auch um genau eins zum Eigenwert 0 zunimmt.
[mm] \Rightarrow dim_{K}(Eig(f^{i}, [/mm] 0)) = i [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow [/mm] n-i ist der Nilpotenzgrad von [mm] f^{i}, [/mm] also folgt: [mm] \mu_{f^{i}} [/mm] = [mm] t^{n-i} [/mm] für i = 2, ..., n.
Ich weiß zwar jetzt, dass die Jordansche Normalform zu [mm] f^{i} [/mm] i Jordanblöcke haben muss, und auch der größte Block (n-i) x (n-i) groß ist, aber ich weiß nicht, wieviele Blöcke der Größe m x m in der Jordanschen Normalform auftauchen, denn wenn ich einen großen (n-i) x (n-i) Block habe, muss ich ja immer noch (i-1) Blöcke ,,vergeben".
Wie bestimme ich das, bzw. ist das überhaupt so richtig, was ich bisher gemacht habe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 22.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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