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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Jordan'sche Normalform der folgenden reellen 2x2 Matrizen:
a)
[mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix} [/mm]
b)
[mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} [/mm]
c)
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
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Hallo!
Also ich komme bei der Aufgabe mit dem Kern nachher nicht weiter... also ich weiß nicht wie ich dann daraus die Jordanform machen soll! Ich schreib euch mal was ich bisher gemacht hab!
also bei a) komme ich auf das charakteristische Polynom von
x(t)=[mm]t^2-5t+4[/mm]
Damit sind die Eigenwerte: [mm]t_1=1 , t_2=4[/mm]
So, jetzt weiß ich dass man den Eigenraum wie folgt bestimmt:
[mm]E_1=Kern(A-1E)[/mm]
dann habe ich also: [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{pmatrix} [/mm]
und muss davon den Kern bestimmen, da komm ich auf das LGS
1. x+y=0 und 2. 2x+2y=0
und jetzt weiß ich nicht mehr weiter... weil der Kern wäre dann ja [mm]\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} [/mm]
Und nun???
Bei b) und c) habe ich das gleiche problem!
bei b) habe ich die Eigenwerte: [mm]t_1=1=t_2[/mm] und somit das LGS: 1. -x+y=0 und 2. -x+y=0
Ich hoffe es kann mir einer von euch helfen!
Das Problem an der Sache ist, dass der Prof letzten Mittwoch mit seiner Vl nicht durchkam und wir deswegen nur kurz über die Jordan'sche Normalform sprechen konnten.
Liebe Grüße
Mary
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Der Kern wäre nicht [mm] \vektor{0 \\ 0}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }\vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
=> x1 + x2 = 0 <=> x1 = -x2 => [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] als Eigenvektor zu dem Eigenraum vom Eigenwert. Und das musst du noch mit dem anderen Eigenwert machen und dann ergeben die Eigenvektoren die neue Basis und dann musst du eben die Darstellungsmatrix mithilfe der neuen Basis darstellen -> Jordannormalform.
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