Jordan'sche Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey liebes Forum,
hab eine kurze allgemeine Frage zur Jordanschen Normalform.
Bei mir ist das ganze mittlerweile auch schon wieder ein Jahr her, deshalb frage ich lieber mal nach.
Angenommen ich habe 3 Eigenvektoren (1 mit Eigenwert 0, geometrische Vielfachheit = 1 = algebraische Vielfachheit) und einen Hauptvektor (zu diesem gehören die anderen 2 Eigenvektoren) berechnet. Jordan'sche Normalform ist ebenfalls gebildet.
Nun will ich meine Transformationsmatrix X bilden, damit gilt: [mm] J=X*A*X^{-1}
[/mm]
sprich: ich muss doch meine Eigen- und Haupvektoren der Reihe nach anschreiben: [mm] X=(v1,v2,h21,v3)^{T}
[/mm]
Die Frage die sich mir nun stellt ist:
Woher weiß ich an welcher Stelle mein Hauptvektor stehen muss? (an erster und zweiter Stelle ist klar warum nicht) Ich berechne diesen Hauptvektor doch ganz allgemein mit [mm] (A-\lamba*I)h=v
[/mm]
Bin leider etwas verwirrt, da das alles schon eine Zeit lang her ist :(. Hoffe ihr könnt Klarheit bringen.
LG und danke, Scherzkrapferl
PS: kann es mir anhand meiner eigenen Bsp. nur so erklären: meistens ist das gleichungssystem [mm] (A-\lamba*I)h=v [/mm] nur lösbar, wenn eine Variable (vom allgemeinen Eigenvektor - der aus einer 2-parametrigen Lösungsschar besteht)) Null ist. also wenn der eigenvektor v=s*(1,0,0,0)+t(0,1,0,0) , und damit [mm] (A-\lamba*I)h=v [/mm] lösbar -> t=0. demnach steht (0,1,0,0) nach dem Hauptvektor (bei Transformationsmatrix X)
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Hallo,
Dein Text ist etwas unbekömmlich für mich.
Mich stört sehr, daß er so allgemein abgefaßt ist, daß man sich den Sachverhalt im Text zusammenklauben muß, z.B. daß es um eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix geht.
Etwas mehr Übersicht wäre nicht übel, und ich bin mir sicher, daß Du schneller Antwort bekommen hättest - offensichtlich ging es anderen ähnlich. Das nur zur Information - es ist kein Angriff, und Du mußt Dich nicht verteidigen.
Ich versuche jetzt mal, den Sachverhalt und Deine Fragen so wiederzugeben, wie ich es verstanden habe.
Du hast eine [mm] 4\times [/mm] 4 Matrix A mit 2 verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2, [/mm] und dem charakteristischen Polynom [mm] X_A(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)^3,
[/mm]
weißt also über die JNF J schon J=[mm]\pmat{\lambda_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \lambda_2& \* & 0\\
0 & 0 & \lambda_2 & \*\\
0 & 0 & 0 & \lambda_2}[/mm]
(Falls bei Euch die eventuellen Einsen unterhalb der Hauptdiagonalen hängen, wird sich ganz am Ende auch klären, wie das zu bewerkstelligen ist. Wenn Du es für "oberhalb" verstehst, kriegst Du auch die Kurve zu "unterhalb".)
Du hast die Eigenräume bestimmt und dabei festgestellt
dim [mm] Eig(\lambda_1)=dimKern(A-\lambda_1E)=1,
[/mm]
[mm] Eig(\lambda_1)=,
[/mm]
dim [mm] Eig(\lambda_2)=dimKern(A-\lambda_2E)=2,
[/mm]
[mm] Eig(\lambda_2)=.
[/mm]
Damit ist das Aussehen der JNF bekannt:
J=[mm]\pmat{\lambda_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \lambda_2& 0& 0\\
0 & 0 & \lambda_2 & 1\\
0 & 0 & 0 & \lambda_2}[/mm]
Die JNF ist ja die Darstellungsmatrix der durch f(x)=Ax gegebenen Abbildung bzgl der Jordanbasis B.
Daß in B die Eigenvektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] enthalten sind, ist Dir klar.
Du weißt auch prinzipiell, wie Du den fehlenden Vektor h berechnen mußt, nämlich [mm] (A-\lambda_2E)h=v_k, [/mm] Dir ist aber nicht recht klar, ob k=1 oder k=2, und dann ist Dir auch nicht klar, an welcher Stelle der Basis B dieser Hauptvektor zu positionieren ist.
Ich hoffe, ich habe das soweit richtig wiedergegeben.
Wir sagen jetzt mal, daß Du h so berechnet hast, daß [mm] (A-\lambda_2E)h=v_2.
[/mm]
Unsere basisvektoren sind also [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] und h, welche nun in die richtige Reihenfolgegebracht werden müssen.
Schauen wir nun die JNF an, und erinnern uns daran, daß in den Spalten der JNF die Bilder der Basisvektoren von B stehen in Koordinaten bzgl. B.
Ich es sei [mm] B=(b_1,b_2, b_3, b_4) [/mm] und wir gucken nun, welcher der obigen Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] ,h welches [mm] b_i [/mm] ist.
Die erste Spalte lehrt: [mm] Ab_1=\lambda_1b_1.
[/mm]
Damit ist klar: [mm] b_1=v_1, [/mm] also ist [mm] B=(v_1,b_2, b_3, b_4).
[/mm]
Mit derselben Überlegung sehen wir, daß [mm] b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda_2 [/mm] sein müssen.
Die vierte Spalte sagt: [mm] Ab_4=b_3+\lambda_2b_4 [/mm] <==> [mm] (A-\lamda_2E)b_4=b_3.
[/mm]
Damit ist klar: [mm] b_4=h, b_3=v_2 [/mm] (weil wir angenommen hatten, daß Du h so berechnet hast).
Also ist [mm] B=(v_1, v_3, v_2, [/mm] h).
Du kannst nun ja selbst für Dich im Stillen überlegen, wie die Darstellungsmatrix aussieht, wenn Du die Reihenfolge der Basisvektoren veränderst,also mal guckst, was Du für [mm] B'=(v_1, v_2, v_3, [/mm] h), [mm] B''=(v_1, v_2,h,v_3), B'''=(v_1, v_3, [/mm] h, [mm] v_2) [/mm] bekommst.
LG Angela
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vielen vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Hab's wieder verstanden ;)
Der Grund, warum ich so allgemein gefragt habe, ist dass ich 1. kein konkretes Bsp hatte (sondern nur im Kopf durchgedacht) und 2. eine möglichst allgemeine Antwort (so wie deine), da manche Bsp auf verschiedene Arten gelöst werden können.
Keine Sorge, ich fühle mich nicht angegriffen ;) bin froh, dass jemand geantwortet hat :) - In Zukunft werde ich natürlich anhand von Beispielen fragen.
Danke für dein "Kochrezept" :) Hast mir sehr geholfen.
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
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