Jordan & welche EV? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 01.10.2007 | | Autor: | Fulla |
| Aufgabe | | [mm] A:=\pmat{1&-4&4\\0&3&2\\0&-1&0} [/mm] |
Hallo zusammen!
Zu dieser Matrix suche ich eine Transformationsmatrix, um sie auf Jordannormalform zu bringen.
Die Matrix stammt hier aus dem Forum und ich hab auch schon alles ausgerechnet:
[mm] $\lambda_1=\lambda_2=1$, $\lambda_3=2$
[/mm]
[mm] $\ker (A-\lambda_1 \mathbb{E})=\vektor{1\\0\\0}$, $\ker [/mm] ( [mm] (A-\lambda_1 \mathbb{E})^2)=\left<\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\-1}\right>$
[/mm]
[mm] $\ker (A-\lambda_3 \mathbb{E})=\vektor{12\\-2\\1}$
[/mm]
Ich habe jetzt diese 3 lin. unabh. Vektoren zu einer Matrix zusammengesetzt:
[mm] $Q:=\pmat{1&0&12\\0&1&-2\\0&-1&1}$
[/mm]
Das ergibt aber
[mm] $Q^{-1}AQ=\pmat{1&-8&0\\0&1&0 \\0&0&2}$
[/mm]
Ich hab ein bisschen gebastelt (bzw. Maple bemüht)... Mit [mm] $Q=\pmat{8&0&12\\0&-1&-2\\0&1&1}$ [/mm] klappt alles wunderbar!
Jetzt die eigentliche Frage:
Woher weiß ich welches Vielfache der errechneten Eigenvektoren ich in die Matrix stecken muss? Muss vielleicht ein bestimmtes Kriterium an die Determinante gestellt werden (z.B. [mm] $\det [/mm] (Q)>1$)?
Lieben Gruß,
Fulla
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> [mm]A:=\pmat{1&-4&4\\0&3&2\\0&-1&0}[/mm]
> Zu dieser Matrix suche ich eine Transformationsmatrix, um
> sie auf Jordannormalform zu bringen.
>
> Die Matrix stammt hier aus dem Forum und ich hab auch schon
> alles ausgerechnet:
>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=1[/mm], [mm]\lambda_3=2[/mm]
> [mm]\ker (A-\lambda_1 \mathbb{E})=\vektor{1\\0\\0}[/mm], [mm]\ker ( (A-\lambda_1 \mathbb{E})^2)=\left<\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\-1}\right>[/mm]
>
> [mm]\ker (A-\lambda_3 \mathbb{E})=\vektor{12\\-2\\1}[/mm]
>
> Ich habe jetzt diese 3 lin. unabh. Vektoren zu einer Matrix
> zusammengesetzt:
> [mm]Q:=\pmat{1&0&12\\0&1&-2\\0&-1&1}[/mm]
> Das ergibt aber
> [mm]Q^{-1}AQ=\pmat{1&-8&0\\0&1&0 \\0&0&2}[/mm]
>
> Ich hab ein bisschen gebastelt (bzw. Maple bemüht)... Mit
> [mm]Q=\pmat{8&0&12\\0&-1&-2\\0&1&1}[/mm] klappt alles wunderbar!
>
> Jetzt die eigentliche Frage:
> Woher weiß ich welches Vielfache der errechneten
> Eigenvektoren ich in die Matrix stecken muss? Muss
> vielleicht ein bestimmtes Kriterium an die Determinante
> gestellt werden (z.B. [mm]\det (Q)>1[/mm])?
Hallo,
hätte ich Dein Post doch gleich bis zum Ende gelesen, dann hätte ich nichts rechnen müssen: Deine Frage ist ja sehr klein...
Du nimmst einen Basisvektor von [mm] Kern(A-1*E)^2, [/mm] welche nicht in Kern(A-1*E) liegt, Du hast [mm] v_2=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] dafür genommen.
Den "richtigen" Eigenvektor bekommst Du mit [mm] (A-1*E)\vektor{0\\1\\-1}=\vektor{-8\\0\\0}.
[/mm]
Du kannst das ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen. Beachte, daß dort die eventuellen Einsen unterhalb der Hauptdiagonalen stehen, das bekommt man aber in Griff, wenn man die ermittelten Basisvektoren für die Kästchen in jeweils umgekehrter Reihenfolge aufschreibt.
Gruß v. Angela
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