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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 13.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Ich bin innerhalb der Berechung von [mm] e^{A} [/mm] für ein [mm] $A\in \IC^{n\times n}$ [/mm] auf folgendes Problem gestoßen...
Sei J die Jordannormalform zu A.
Dann möchte ich A darstellen als [mm] J=BAB^{-1} [/mm] für ein [mm] $B\in \IC^{n\times n}$.
[/mm]
Jetzt stehe ich aber gerade völlig auf dem Schlauch, wie ich mir dieses B besorge. Ich wollte es mir aus Eigenvektoren von A basteln, hat aber nicht so geklappt wie ich mir das vorgestellt habe! Ich weiß aus einer Stunde, dass es irgendwie mit Vektoren aus den Haupträumen klappen könnte! Hab aber keine Ahnung wie genau!
Wäre nett wenn mir jemand ne kleine Hilfe geben könnte!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 13.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
Also, ich habe jetzt versucht, diese Matrix D mit [mm] A=DJD^{-1} [/mm] auszurechnen, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Meine Rechungen:
Meine Matrix A ist [mm] A=\vektor{i & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Als Jordannormalform dazu habe ich ausgerechnet [mm] J=\vektor{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i}.
[/mm]
Jetzt will ich jenes D berechnen...
Als Hauptraum zum Eigenwert 1 erhalte ich [mm] H_{1}=<\vektor{0\\1\\0},\vektor{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i\\0\\1}>.
[/mm]
Als Hauptraum zum Eigenwert i erhalte ich [mm] H_{i}=<\vektor{-1+i\\1\\0}>.
[/mm]
Nun suche ich mir einen Vektor, der in [mm] H_{1} [/mm] liegt, nicht aber im "darunterliegenden" Raum (das ist in diesem Fall ja gerade der Eigenraum), also den Vektor [mm] \vektor{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i\\0\\1}. [/mm] Diesen multipliziere ich von links mit [mm] (1*E_{3}-A) [/mm] und erhalte den Vektor [mm] \vektor{0\\-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\\0}.
[/mm]
Ebenso suche ich mir einen Vektor, der in [mm] H_{i} [/mm] liegt, da [mm] H_{i} [/mm] in diesem Fall aber gerade der Eigenraum zu i ist, nehme ich einfach den Basisvektor von [mm] H_{i}.
[/mm]
Als Transformationsmatrix D erhalte ich also die Matrix mit den Spalten
[mm] \vektor{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i\\0\\1}, \vektor{0\\-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\\0}, \vektor{-1+i\\1\\0}.
[/mm]
Leider tut diese Matrix nicht [mm] A=DJD^{-1}.
[/mm]
Wäre cool, wenn mich jemand auf einen Denk-, Vorgehens- oder Rechenfehler hinweisen würde!
Lg, Kübi
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:49 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
3 Fragen:
Welche Dim hat denn A-1*E3?
Was kommt raus, wenn du D^-1AD rechnest?
Sicher, dass du dich nicht verrechnet hast (sind ja fehleranfällige Werte ;) )?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
ich meinte bei Frage 1 natürlich : Welche Dim hat ker(A-1*E3) ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Do 13.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, die Dimension von [mm] Kern((1*E_{e}-A)) [/mm] ist 1.
Für [mm] DJD^{1} [/mm] kommt eine äußerst unschöne Matrix heraus:
[mm] \vektor{-\bruch{1}{2}i & 1 & 1+\bruch{1}{2}i\\
1 & 1 & -\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i \\
-1 & -1+i & \bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}i}.
[/mm]
Was das verrechnet betrifft, die angegebenen Schritte habe ich alle mehrmals durchgekaut! sie sollten also stimmen, kann ich natürlcih nicht mich Sicherheit sagen!
Ist die Vorgehensweise also richtig?
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Am Vorgehen kann ich grundsätzlich nichts falsches finden ... (was nichts heißen soll).
Zwei Sachen (erstes könnte nur tippfehler sein):
Hast du [mm] D^{-1}AD [/mm] oder [mm] DAD^{-1} [/mm] gerechnet?
"Diesen multipliziere ich von links mit $ [mm] (1\cdot{}E_{3}-A) [/mm] $ ..." So wie ich das kenn multiplizierst du normal von rechts mit A-E3... aber könnte ja das gleiche rauskommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 13.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Ich habe gerechnet [mm] DJD^{-1} [/mm] was ja aus [mm] D^{-1}AD=J [/mm] folgt. Aber es kommt halt nicht das raus!
Und dieser Vektor aus dem Hauptraum soll von rechts an [mm] (E_{3}-A) [/mm] dranmultipliziert werden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Da hatte ich mich verlesen. Ok...... ich rechne das gleich auch nochmal durch ( ist auch ne ganz gute Übung für die Prüfung morgen ;) )... kann noch nen kleinen Moment dauern .... Mal schauen ob ich auf die gleichen Probleme stoße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 13.07.2006 | | Autor: | deralex |
Ich gebs für heute auf.. muss noch was anderes tun.. hatte auch andere Basisvektoren als du... vielleicht habe ich mich auch verrechnet... werd morgen in Ruhe nochmal schaun...
Gruß, Ale
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http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf