Jordanform? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
EW von A: 1 (doppelt)
D = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Es gilt
[mm] S^{-1}*A*S [/mm] = D
Wie sieht S aus? |
Hallo!
Aus der Musterlösung weiß ich dass S = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1/2 }
[/mm]
Aber wie komme ich darauf? Wikipedia erzählt etwas von einem charakteristischen Polynom und Basistransformationen - aber die Musterlösung schreibt lediglich "Wähle die Koordinaten so dass A ein Jordanblock wird". Mehr nicht. Ich weiß nicht mal, was mit Koordinaten gemeint ist.
Gibt es also da einen Weg mit dem man das Problem in diesem Fall recht schnell lösen kann?
Der Weg bei Wikipedia ist mir leider nicht so ganz klar, weil auch sehr umfangreich.
Liebe Grüße
Laura
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 14.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm]
> EW von A: 1 (doppelt)
>
> D = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Es gilt
>
> [mm]S^{-1}*A*S[/mm] = D
>
> Wie sieht S aus?
> Hallo!
>
> Aus der Musterlösung weiß ich dass S = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1/2 }[/mm]
>
> Aber wie komme ich darauf? Wikipedia erzählt etwas von
> einem charakteristischen Polynom und Basistransformationen
> - aber die Musterlösung schreibt lediglich "Wähle die
> Koordinaten so dass A ein Jordanblock wird". Mehr nicht.
Ja, die Musterlösung geht anscheinend davon aus, dass du das "Kochrezept zur Berechnung einer Jordanbasis" bereits kennst. Das ist genau das, was auf Wikipedia steht und nein, es gibt keinen einfachen Weg. Jordansche Normalform ist nunmal schwierig zu berechnen. Wenn ich dir irgendeine "Zufallsmatrix" hinkotzen würde, dann würdest du im Allgemeinen mit Papier und Bleistift ewig brauchen, selbst wenn du die Eigenwerte exakt kennst.
> Ich weiß nicht mal, was mit Koordinaten gemeint ist.
Mit "Wahl von Koordinaten" ist hier die Wahl einer Basis gemeint. In "den neuen Koordinaten" wird aus $A$ dann [mm] $S^{-1}A [/mm] S$. Diese ganze Sprechweise wird dir sehr viel klarer werden wenn du später mit Mannigfaltigkeiten rumhantierst.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo,
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm]
> EW von A: 1 (doppelt)
Dann stellt man fest, daß dim Kern (A-E)=1 ist, und weiß aufgrund vorhergehender Studien:
die JNF ist
>
> D = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm].
>
> Es gilt
>
> [mm]S^{-1}*A*S[/mm] = D
>
> Wie sieht S aus?
Hierfür braucht man die Jordanbasis, also die Basis, bzgl. derer die Abbildungsmatrix D ist.
Schauen wir uns D an:
der erste Vektor der fraglichen Basis wird auf sich selbst abgebildet, ist also ein Eigenvektor [mm] \vec{v} [/mm] zum Eigenwert 1.
Er lautet?
Für den zweiten Basisvektor [mm] \vec{b}:=\vektor{b_1\\b_2} [/mm] gilt:
[mm] A*\vec{b}=\vec{v} [/mm] + [mm] \vec{b}
[/mm]
<==> [mm] (A-E)\vec{b}=\vec{v}.
[/mm]
Damit steht ein Plan für die Bestimmung einer Jordanbasis.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
