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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordansche Normalform mit zugehöriger Transformationsmatrix für die Matrix
$ A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1} \in M(4,\IC) [/mm] $ |
Hallo Matheraum,
Das ansonsten sehr gut geschriebene ![[]](/images/popup.gif) Kochrezept half mir hier leider auch nicht weiter.
Soweit bin ich nun gekommen:
Das char. Polynom lautet $ [mm] \chi=(t-2)^2 \cdot (t-1)^2 [/mm] $ welches auch das Minimalpolynom ist.
Die Jordanmatrix J sollte also so aussehen: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Nun habe ich die Kerne zu den zwei Eigenwerten bestimmt:
$ Ker(2*I-A) = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}> [/mm] , [mm] Ker(2*I-A)^2 [/mm] = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1}> [/mm] $
$ Ker(I-A) = [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> [/mm] , [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] = [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> [/mm] $
So, wenn ich nun den 2er Block zum Eigenwert 1 konstruieren will, brauche ich ja einen Vektor aus $ [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] $ der NICHT in $ Ker(I-A) $ ist.
Da jetzt aber $ [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] = Ker(I-A) $ ist, weiß ich nicht was zu tun ist.
Ich bitte um Hilfe.
Ciao
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> Bestimmen Sie die Jordansche Normalform mit zugehöriger
> Transformationsmatrix für die Matrix
> [mm]A= \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1} \in M(4,\IC)[/mm]
>
> Hallo Matheraum,
>
> Das ansonsten sehr gut geschriebene
> Kochrezept
> half mir hier leider auch nicht weiter.
>
>
> Soweit bin ich nun gekommen:
> Das char. Polynom lautet [mm]\chi=(t-2)^2 \cdot (t-1)^2[/mm]
> welches auch das Minimalpolynom ist.
Hallo,
bist Du Dir sicher, daß das stimmt? Ich glaube, Du hast Dich vertan.
> Die Jordanmatrix J sollte also so aussehen: [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nun habe ich die Kerne zu den zwei Eigenwerten bestimmt:
> [mm]Ker(2*I-A) = <\vektor{1 \\
0 \\
-1 \\
0}> , Ker(2*I-A)^2 = <\vektor{1 \\
0 \\
-1 \\
0} , \vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
-1}>[/mm]
>
> [mm]Ker(I-A) = <\vektor{0 \\
0 \\
1 \\
0} , \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
-1}> , Ker(I-A)^2 = <\vektor{0 \\
0 \\
1 \\
0} , \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
-1}> [/mm]
Deine Kerne passen nicht zu der JNF von oben.
Wie gesagt: ich traue Deinem Minimalpolynom nicht über den Weg.
LG Angela
>
> So, wenn ich nun den 2er Block zum Eigenwert 1 konstruieren
> will, brauche ich ja einen Vektor aus [mm]Ker(I-A)^2[/mm] der NICHT
> in [mm]Ker(I-A)[/mm] ist.
> Da jetzt aber [mm]Ker(I-A)^2 = Ker(I-A)[/mm] ist, weiß ich nicht
> was zu tun ist.
>
> Ich bitte um Hilfe.
>
>
> Ciao
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Hallo angela.h.b.,
danke für deine Antwort und du hast (natürlich) recht:
das Minimalpolynom lautet $ [mm] \mu [/mm] = [mm] (t-2)^2 \cdot [/mm] (t-1) $ , womit die Jordanmatrix folglich folgende Form hat:
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] $
Nun weiß ich aber nicht mehr so genau, wie es weiter geht:
Für die beiden 1en zum EW 1 nehm ich ja einfach die beiden Vektoren aus $ Ker(I-A) (= [mm] Ker(I-A)^2) [/mm] $.
Wie geht das bei dem Jordankästchen zum EW 2?
Ich hätte da den Vektor aus $ [mm] Ker(2I-A)^2 [/mm] $ genommen, der nicht in $ Ker(2I-A) $ liegt, also v = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] und $ [mm] v_2 [/mm] = Ker(I-A) [mm] \cdot [/mm] v $ berechnet.
S = [mm] {v_2, v, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1} } [/mm] wär dann meine Trafomatrix. Ist sie aber nicht. Wo liegt mein Fehler?
Ciao
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Hallo MatheStudi7,
> Hallo angela.h.b.,
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> danke für deine Antwort und du hast (natürlich) recht:
> das Minimalpolynom lautet [mm]\mu = (t-2)^2 \cdot (t-1)[/mm] ,
> womit die Jordanmatrix folglich folgende Form hat:
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber nicht mehr so genau, wie es weiter
> geht:
> Für die beiden 1en zum EW 1 nehm ich ja einfach die
> beiden Vektoren aus [mm]Ker(I-A) (= Ker(I-A)^2) [/mm].
> Wie geht das
> bei dem Jordankästchen zum EW 2?
> Ich hätte da den Vektor aus [mm]Ker(2I-A)^2[/mm] genommen, der
> nicht in [mm]Ker(2I-A)[/mm] liegt, also v = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1},[/mm]
> und [mm]v_2 = Ker(I-A) \cdot v[/mm] berechnet.
>
> S = [mm]{v_2, v, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1} }[/mm]
> wär dann meine Trafomatrix. Ist sie aber nicht. Wo liegt
> mein Fehler?
>
Der Vektor v muss lauten:
[mm]v = \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ \blue{+}1}[/mm]
>
> Ciao
>
Gruss
MathePower
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> Der Vektor v muss lauten:
>
> [mm]v = \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ \blue{+}1}[/mm]
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Ah alles klar, vielen Dank.
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