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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Jordanmatrix bestimmen
Jordanmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Jordanmatrix bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Mi 14.03.2012
Autor: MatheStudi7

Aufgabe
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform mit zugehöriger Transformationsmatrix für die Matrix
$ A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1} \in M(4,\IC) [/mm] $

Hallo Matheraum,

Das ansonsten sehr gut geschriebene []Kochrezept half mir hier leider auch nicht weiter.


Soweit bin ich nun gekommen:
Das char. Polynom lautet $ [mm] \chi=(t-2)^2 \cdot (t-1)^2 [/mm] $ welches auch das Minimalpolynom ist.
Die Jordanmatrix J sollte also so aussehen: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Nun habe ich die Kerne zu den zwei Eigenwerten bestimmt:
$ Ker(2*I-A) = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}> [/mm] , [mm] Ker(2*I-A)^2 [/mm] = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1}> [/mm] $
$ Ker(I-A) = [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> [/mm] , [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] = [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> [/mm]  $

So, wenn ich nun den 2er Block zum Eigenwert 1 konstruieren will, brauche ich ja einen Vektor aus $ [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] $ der NICHT in $ Ker(I-A) $ ist.
Da jetzt aber $ [mm] Ker(I-A)^2 [/mm] = Ker(I-A) $ ist, weiß ich nicht was zu tun ist.

Ich bitte um Hilfe.


Ciao

        
Bezug
Jordanmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mi 14.03.2012
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die Jordansche Normalform mit zugehöriger
> Transformationsmatrix für die Matrix
>  [mm]A= \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1} \in M(4,\IC)[/mm]
>  
> Hallo Matheraum,
>  
> Das ansonsten sehr gut geschriebene
> []Kochrezept
> half mir hier leider auch nicht weiter.
>  
>
> Soweit bin ich nun gekommen:
>  Das char. Polynom lautet [mm]\chi=(t-2)^2 \cdot (t-1)^2[/mm]
> welches auch das Minimalpolynom ist.

Hallo,

bist Du Dir sicher, daß das stimmt? Ich glaube, Du hast Dich vertan.


>  Die Jordanmatrix J sollte also so aussehen: [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> Nun habe ich die Kerne zu den zwei Eigenwerten bestimmt:
>  [mm]Ker(2*I-A) = <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}> , Ker(2*I-A)^2 = <\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} , \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1}>[/mm]
>  
> [mm]Ker(I-A) = <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> , Ker(I-A)^2 = <\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}> [/mm]

Deine Kerne passen nicht zu der JNF von oben.
Wie gesagt: ich traue Deinem Minimalpolynom nicht über den Weg.

LG Angela

>  
> So, wenn ich nun den 2er Block zum Eigenwert 1 konstruieren
> will, brauche ich ja einen Vektor aus [mm]Ker(I-A)^2[/mm] der NICHT
> in [mm]Ker(I-A)[/mm] ist.
> Da jetzt aber [mm]Ker(I-A)^2 = Ker(I-A)[/mm] ist, weiß ich nicht
> was zu tun ist.
>  
> Ich bitte um Hilfe.
>  
>
> Ciao


Bezug
                
Bezug
Jordanmatrix bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Mi 14.03.2012
Autor: MatheStudi7

Hallo angela.h.b.,

danke für deine Antwort und du hast (natürlich) recht:
das Minimalpolynom lautet $ [mm] \mu [/mm] = [mm] (t-2)^2 \cdot [/mm] (t-1) $ , womit die Jordanmatrix folglich folgende Form hat:
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] $

Nun weiß ich aber nicht mehr so genau, wie es weiter geht:
Für die beiden 1en zum EW 1 nehm ich ja einfach die beiden Vektoren aus $ Ker(I-A) (= [mm] Ker(I-A)^2) [/mm] $.
Wie geht das bei dem Jordankästchen zum EW 2?
Ich hätte da den Vektor aus $ [mm] Ker(2I-A)^2 [/mm] $ genommen, der nicht in $ Ker(2I-A) $ liegt, also v = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] und $ [mm] v_2 [/mm] = Ker(I-A) [mm] \cdot [/mm] v $ berechnet.

S = [mm] {v_2, v, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1} } [/mm] wär dann meine Trafomatrix. Ist sie aber nicht. Wo liegt mein Fehler?


Ciao


Bezug
                        
Bezug
Jordanmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 14.03.2012
Autor: MathePower

Hallo MatheStudi7,

> Hallo angela.h.b.,
>  
> danke für deine Antwort und du hast (natürlich) recht:
>  das Minimalpolynom lautet [mm]\mu = (t-2)^2 \cdot (t-1)[/mm] ,
> womit die Jordanmatrix folglich folgende Form hat:
>  [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> Nun weiß ich aber nicht mehr so genau, wie es weiter
> geht:
>  Für die beiden 1en zum EW 1 nehm ich ja einfach die
> beiden Vektoren aus [mm]Ker(I-A) (= Ker(I-A)^2) [/mm].
>  Wie geht das
> bei dem Jordankästchen zum EW 2?
>  Ich hätte da den Vektor aus [mm]Ker(2I-A)^2[/mm] genommen, der
> nicht in [mm]Ker(2I-A)[/mm] liegt, also v = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ -1},[/mm]
> und [mm]v_2 = Ker(I-A) \cdot v[/mm] berechnet.
>  
> S = [mm]{v_2, v, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1} }[/mm]
> wär dann meine Trafomatrix. Ist sie aber nicht. Wo liegt
> mein Fehler?

>


Der Vektor v muss lauten:

[mm]v = \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ \blue{+}1}[/mm]

  
>

> Ciao
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Jordanmatrix bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Mi 14.03.2012
Autor: MatheStudi7


>
> Der Vektor v muss lauten:
>  
> [mm]v = \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ \blue{+}1}[/mm]
>


Ah alles klar, vielen Dank.


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