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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 19.02.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | Es sei
[mm] $M=\pmat{ 1 & 0 & \frac{1}{4}& 0 \\ -2 & 1 &0&0\\0 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & -\frac{7}{4} & 2} \in \IQ^{4x4}$
[/mm]
Man bestimme die JNF=Jordannormalform von $M$ und eine invertierbare Matrix $T [mm] \in \IC^{4x4}$,so [/mm] dass [mm] $T^{-1}MT$ [/mm] in JNF ist. |
Hi leute:),
zu erst habe ich das Char.pol von M aus gerechnet
$Charpol(M)= ( M- [mm] \lambda*E_4) =\pmat{ 1- \lambda & 0 & \frac{1}{4}& 0 \\ -2 & - \lambda &0&0\\0 & 0 & 2- \lambda & 0 \\ 5 & 1 & -\frac{7}{4} & 2- \lambda}$, [/mm] mittels Laplace.ent. konnte ich nun das $ Charpol(M)= [mm] (2-\lambda)^2*(1-\lambda)^2$ [/mm] herausfinden.
Daraus nehme ich an ,dass die Eig.werte [mm] $\lambda_{1,2}= [/mm] 2$ und [mm] $\lambda_{3,4}=1$ [/mm] sind.
Daraus,dass die alge.brai. Vielfachheit beider EW. $2$ ist ,also doppelte nullstelle, kann ich annehmen , dass es für jeden EW $2x$ Mölichkeiten gibt. Entweder ist es ein $2x2$ Block zu jedem EW mit $1$ unter der Hauptdiagonalen oder zwei $1x1$ Blöcker mit $0$ auf der unteren Nebendiagonalen.
Ich Berechne jetzt die EV und bestimme dazu die Basis des jeweiligen Hauptraumes.
[mm] $\lambda=1$
[/mm]
$B:= [mm] (A-1*E_4)= \pmat{ 0 & 0 & \frac{1}{4}& 0 \\ -2 & 0 &0&0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & -\frac{7}{4} & 1} \Rightarrow x_1=0 \wedge x_3=0 \Rightarrow x_2=-x_4 \Rightarrow \vektor{0 \\ -x_4\\0\\x_4}$
[/mm]
nun direkt dazu [mm] $Kern(A-1*E_4) [/mm] = [mm] <\vektor{0 \\ -1\\0\\1}>$
[/mm]
[mm] $B^2:= (A-1*E_4)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}*\pmat{ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 &-2&0\\0 & 0 & 4 & 0 \\ 12&4&-9&4} \Rightarrow x_3=0 \Rightarrow 3x_1+x_2+x_4=0 \Rightarrow x_2=-3x_1-+x_4 \Rightarrow \vektor{x_1\\ -3x_1-x_4\\0\\x_4}$
[/mm]
[mm] Kern(A-1*E_4)^2 =<\vektor{1\\ -3\\0\\0},\vektor{0\\ -1\\0\\1}>$
[/mm]
[mm] $\lambda=2$
[/mm]
$C:= [mm] (A-2*E_4)=....= \pmat{ -1 & 0 & \frac{1}{4}& 0 \\ 0 & -1 &-\frac{1}{2}&0\\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0} \Rightarrow x_1=0 \wedge x_2 [/mm] = 0 [mm] \wedge x_3=0 \Rightarrow \vektor{0 \\ 0\\0\\x_4}$
[/mm]
[mm] $Kern(A-2*E_4) [/mm] = [mm] <\vektor{0 \\ 0\\0\\1}>$
[/mm]
[mm] $C^2:= (A-2*E_4)^2=....=\frac{1}{4}* \pmat{ 4 & 0 & -1& 0 \\ 0 & 4 &2&0\\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0} \Rightarrow x_1=0 \wedge x_2 [/mm] = 0 [mm] \wedge x_3=0 \Rightarrow \vektor{0 \\ 0\\0\\x_4}$
[/mm]
[mm] $Kern(A-2*E_4)^2 [/mm] = [mm] <\vektor{0 \\ 0\\0\\1}>$
[/mm]
zu jetzt will ich die Basiswechselmatrix $T$ bestimmen und hab keinen Plan,wie das geht....bitte kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Fr 19.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi zuerstmal
$ [mm] C^2:= (A-2\cdot{}E_4)^2=....=\frac{1}{4}\cdot{} \pmat{ 4 & 0 & -1& 0 \\ 0 & 4 &2&0\\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0} \Rightarrow x_1=0 \wedge x_2 [/mm] = 0 [mm] \wedge x_3=0 \Rightarrow \vektor{0 \\ 0\\0\\x_4} [/mm] $
Das ist nicht korrekt!
Nochmal nachrechnen und den 2 Vektor für [mm] Kern(A-2\cdot{}E_4)^2 [/mm] berechnen!
Dann machen wir weiter
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fugit |
ich hab als zweiten vektor
$ [mm] C^2:= (A-2\cdot{}E_4)^2=....=\frac{1}{4}\cdot{} \pmat{ 4 & 0 & -1& 0 \\ 0 & 4 &2&0\\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} \Rightarrow x_1=\frac{1}{4}x_3 \wedge x_2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}x_3 \Rightarrow \vektor{\frac{1}{4}x_3 \\ -\frac{1}{2}x_3 \\x_3\\x_4} [/mm] $
[mm] $Kern(A-2\cdot{}E_4)^2=<\vektor{0 \\ 0\\0\\1},\vektor{1 \\ -2 \\4\\0}> [/mm] $
ist das so richtig? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi,
Hab jetz nicht alles nachgerechnet sieht aber gut aus!
Nun setzt du [mm] v_{1}=\in ker(A-1\cdot{}E_4)^2 [/mm] \ [mm] ker(A-1\cdot{}E_4)
[/mm]
Und dann [mm] v_{2}=(A-1\cdot{}E_4)v_{1}.
[/mm]
Das selbe dann für [mm] (A-\cdot{}2E_4)^2
[/mm]
Damit erhältst du dann T und berechnest [mm] J=T^{-1}AT
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fugit |
Das klappt irgendwie nicht
$ [mm] v_{1}= ker(A-2\cdot{}E_4)^2 [/mm] $ \ $ [mm] ker(A-2\cdot{}E_4)= \{ \vektor{1\\ -2\\4\\0} \} [/mm] $
[mm] $v_2= ker(A-2\cdot{}E_4)*v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\0\\-4}$
[/mm]
[mm] $v_3= ker(A-1\cdot{}E_4)^2 [/mm] $ \ $ [mm] ker(A-1\cdot{}E_4)= \{ \vektor{1\\ -3\\0\\0} \}$
[/mm]
[mm] $v_4=ker(A-1\cdot{}E_4)^2*v_3 [/mm] $\ $ [mm] ker(A-1\cdot{}E_4)= \{ \vektor{0\\ -2\\0\\2} \}$
[/mm]
$T:= [mm] \{ \vektor{1\\ -2\\4\\0}, \vektor{0 \\ 0\\0\\-4}, \vektor{1\\ -3\\0\\0} , \vektor{0\\ -2\\0\\2} \} [/mm] $
das ist aber irgendwie falsch...:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Also für [mm] T:={v_{4},v_{3}, v_{2}, v_{1}} [/mm] sollte es Funktionieren!!
Bei mir zumindest klappt es!
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fugit |
wie ordne ich die Basiselemente von T an,sodass die direkt geoordnet ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 22.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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