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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Jordannormalform
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Mo 24.09.2007
Autor: barsch

Aufgabe
Bestimme die Jordannormalform:

[mm] A=\pmat{ 3i & 8 \\ 2 & -5i }\in\IC^{2x2} [/mm]

Hi,

ich habe folgendes gemacht.

charakteristisches Polynom berechnen:

[mm] det(A-\lambda id)=det\pmat{ 3i-\lambda & 8 \\ 2 & -5i-\lambda }=(3i-\lambda)*(-5i-\lambda)-16)=15-3i\lambda+5i\lambda+\lambda^2-16=\lambda^2+2i\lambda-1=(\lambda-i)^2=0 \gdw \lambda=i [/mm]

Bei der Berechnung der Eigenräume hängt's:

[mm] Kern\pmat{ 2i & 8 \\ 2 & -6i } [/mm]

Mit Gauß (wenn richtig?):

[mm] Kern\pmat{ 2i & 8 \\ 0 & -2i } [/mm]

Ist das richtig? Und wie lautet der Kern?

MfG barsch
        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mo 24.09.2007
Autor: schachuzipus

Holà barsch,

> Bestimme die Jordannormalform:
>  
> [mm]A=\pmat{ 3i & 8 \\ 2 & -5i }\in\IC^{2x2}[/mm]
>  Hi,
>  
> ich habe folgendes gemacht.
>  
> charakteristisches Polynom berechnen:
>  
> [mm] det(A-\lambda id)=det\pmat{ 3i-\lambda & 8 \\ 2 & -5i-\lambda }=(3i-\lambda)*(-5i-\lambda)-16)=15-3i\lambda+5i\lambda+\lambda^2-16=\lambda^2+2i\lambda-1 [/mm] [ok]

[mm] =(\lambda-i)^2 [/mm] =0 [notok] [kopfkratz3]


[mm] =(\lambda+i)^2 [/mm] !!

[mm] \gdw \lambda=\red{-}i [/mm]

>
> Bei der Berechnung der Eigenräume hängt's:
>  
> [mm]Kern\pmat{ 2i & 8 \\ 2 & -6i }[/mm]
>
> Mit Gauß (wenn richtig?): [ok] prinzipiell ja
>  
> [mm]Kern\pmat{ 2i & 8 \\ 0 & -2i }[/mm]
>  
> Ist das richtig? Und wie lautet der Kern?
>  
> MfG barsch


Bestimme [mm] $Kern\pmat{ 4i & 8 \\ 2 & -4i }$ [/mm]

1.Zeile + [mm] (-2i)\cdot{}2.Zeile [/mm] gibt ne Nullzeile....

Damit geht's weiter, oder? ;-)

LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Jordannormalform: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Mo 24.09.2007
Autor: barsch

Hi schachuzipus,


> [mm]=(\lambda-i)^2[/mm] =0 [notok] [kopfkratz3]

okay, mein Fehler.

> Damit geht's weiter, oder? ;-)

Ja [ok]

Ich habe folgendes:

....
[mm] Kern\pmat{ 4i & 8 \\ 2 & -4i } [/mm]

mit Gauß:

[mm] Kern\pmat{ 4i & 8 \\ 0 & 0 }=span\{\vektor{2i \\ 1}\} [/mm]


[mm] Kern(\pmat{ 4i & 8 \\ 2 & -4i }*\pmat{ 4i & 8 \\ 2 & -4i })=Kern\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 0 }=span\{\vektor{2i \\ 1},\vektor{1 \\ 0}\} [/mm]

[mm] S:=\pmat{ 1 & 4i \\ 0 & 2 }, [/mm] also [mm] S^{-1}=\pmat{ 1 & -2i \\ 0 & \bruch{1}{2 }} [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & -2i \\ 0 & \bruch{1}{2 }}*\pmat{ 3i & 8 \\ 2 & -5i }*\pmat{ 1 & 4i \\ 0 & 2 }=\pmat{ -i & -2 \\ 1 & -\bruch{5}{2}i}*\pmat{ 1 & 4i \\ 0 & 2 }=\pmat{ -i & 0\\ 1 & -i } [/mm]

Wow.

Vielen Dank schachuzipus.

MfG barsch

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