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| Aufgabe | Bestimmen Sie zu der hermiteschen Matrix A C4x4 bzw. reellen symmetrischen Matrix B R4x4 eine unitäre Matrix S 2 C4x4 bzw. orthogonale Matrix T R4x4, so dass St AS bzw. Tt BT eine
Diagonalmatrix ist:
[mm] A=\pmat{ 2 & i & 0 & 0 \\ -i & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & i \\ 0 & 0 & -i & 2 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin verzweifelt!
Wie berechnet man die Jordanmatrix und Jordanbasis, wenn man mehrere Eigenwerte hat?
Also A (EW 1 doppelt und 3 doppelt) B (0 dreifach und 30)
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> Bestimmen Sie zu der hermiteschen Matrix A C4x4 bzw.
> reellen symmetrischen Matrix B R4x4 eine unitäre Matrix S 2
> C4x4 bzw. orthogonale Matrix T R4x4, so dass St AS bzw. Tt
> BT eine
> Diagonalmatrix ist:
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & i & 0 & 0 \\ -i & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & i \\ 0 & 0 & -i & 2 }[/mm]
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> [mm]B=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Ich bin verzweifelt!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht können wir hier ja ein wenig etwas gegen Deine Verzweiflung tun.
> Wie berechnet man die Jordanmatrix und Jordanbasis, wenn
> man mehrere Eigenwerte hat?
> Also A (EW 1 doppelt und 3 doppelt) B (0 dreifach und 30)
Für die JNF gibt's ein recht nettes ![[]](/images/popup.gif) Kochrezept.
Ich schlage vor, daß Du Dich zunächst daran entlanghangelst, und Dich, falls Du hängst, nochmal meldest.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Bestimmen Sie zu der hermiteschen Matrix A C4x4 bzw. reellen symmetrischen Matrix B R4x4 eine unitäre Matrix S 2 C4x4 bzw. orthogonale Matrix T R4x4, so dass St AS bzw. Tt BT eine
Diagonalmatrix ist |
Danke für das "Rezept"! Die Jordanmatrix habe ich rausgekriegt, weiss aber nicht, ob es stimmt:
J (zu [mm] A)=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\}
[/mm]
Auf die Basis komme ich trotzdem nicht, vor allem das mit dem Kern und Dimension!
Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir weiter helfen
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> Danke für das "Rezept"! Die Jordanmatrix habe ich
> rausgekriegt, weiss aber nicht, ob es stimmt:
> J (zu [mm]A)=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\}[/mm]
Hallo,
Deine Jordanmatrix stimmt leider nicht.
Deiner Matrix entnehme ich aber, daß Du das Charakteristische Polynom richtig ausgerechnet hast:
[mm] X_A=(x-1)^2(x-3)^2.
[/mm]
Dem "Kochrezept" kann man entnehmen, daß der Jordanblock zu 1 daher eine 2x2-Matrix ist.
Also sieht der Jordanblock zu 1 so [mm] aus:\pmat{ 1 & 0 \\ ? & 1 } [/mm]
(Je nachdem, wie Ihr in Eurer Vorlesung die JNF erklärt habt, kann sie auch so aussehen: [mm] \pmat{ 1 & ? \\ 0 & 1 })
[/mm]
Beim ? kommt 0 oser 1 hin, das muß man als nächstes entscheiden.
Die Entscheidung läuft über die Dimension des Eigenraumes.
Man bestimmt also Kern (A-1*E)=...
Der ist in diesem Fall, wenn ich mich nicht verrechnet habe, zweidimensional.
Das sagt uns: der Jordanblock zu 1 besteht aus zwei Jordankästchen.
Tja - da bleibt keine Wahl: es müssen zwei 1x1-Kästchen sein.
Also hat der Jordanblock zu 1 diese [mm] Gestalt:\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
(Wäre die Dimension des Eigenraumes 1, dann hätten wir 1 Jordankästchen: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 })
[/mm]
Die analoge Überlegung müßtest Du nun für den Eigenwert 3 durchführen.
Ich verrate Dir das Ergebnis: auch dieser Jordamblock ist eine Diagonalmatrix.
Insgesamt sieht Deine JNF also so [mm] aus:\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\}.
[/mm]
Für die Basis brauchst Du nicht arg viel rechnen.
Eine Basis der Eigenräume solltest u bestimmt haben, wenn Du hier angekommen bist.
A ist eine hermitesche Matrix. Das bedeutet, daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten ohne Dein Zutun orthogonal zueinander sind - richtige Rechnung vorausgesetzt...
Du mußt jetzt nur noch die beiden EVren zu 1 und die zu 3 orthonormalisieren, und schon hast Du die Basis, die es tut.
Du siehst, daß man hierfür noch mit wenig Rechnerei auskommt.
Meine Mathematikpsychologie sagt mir, daß der Fall bei der Matrix B schwieriger gelagert sein wird.
Ich hoffe, daß Du das mir Kästchen und Block jetzt verstanden hast und beginnen kannst.
>
> Auf die Basis komme ich trotzdem nicht, vor allem das mit
> dem Kern und Dimension!
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir weiter helfen
Noch eins: alle duzen sich hier, und Du sollst und darfst das auch tun - auch wenn ich allmählich nicht mehr so taufrisch bin!
Gruß v. Angela
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