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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 29.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 3 & 2 & -2 \\ 4 & 10 & -12 \\ 3 & 6 &-7 }
[/mm]
Bestimmen Sie char. Polynom, Minimalpolynom, Eigenräume u Jordansche Normalform. |
Hallo,
also mein problem liegt beim minimalpolynom u bei der jordanschen normalform. ich muss zugeben, vorm minimalpolynomhab ich mich immer gedrückt. wir hatten in der vorlesung relativ einfache bsp ( [mm] (\lambda [/mm] -4)³ zum bsp, da braucht man ja nur die potenzen durchgehen, das hab ich verstanden) aber ich hab bei der obigen matrix als char. Polynom - [mm] \lambda³+6*\lambda²-9*\lambda+2, [/mm] und bis jetz konnte mir keiner nen eindeutigen weg zur berechnung des minimalpolynoms geben...
ich hab als eigenwerte 2, [mm] 2+\wurzel{3} [/mm] und [mm] 2-\wurzel{3} [/mm] raus, was gleich zu meinem nächsten problem führt, da durch die wurzel doch extrem "bescheidene" eigenräume rauskommen.
außerdem hab ich schwierigkeiten mit der normalform, weil wir das nur an nem trivialen bsp (ohne damit sagen zu wollen, dass das da oben schwer ist) vorgestellt bekommen habe, wo der einzigste eigenwert 2 war, aber bei dieser aufgabe fehlt mir da der durchblick.
wär schön, wenn mir das jemand erklären könnte.
lg
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Hi! Zur Berechnung des MiPos:
1) Zerlege das cP in seine Nullstellen
2) Wichtiger Satz: MiPo und cP haben die selben Nullstellen
3) Jetzt mit der niedrigsten Potenz einer Nullstelle beginnen und durchprobieren (Matrix einsetzen) bis sie die Nullmatrix ergibt (denn das MiPo ist p.D. das monische Polynom minimalsten Grades, das m(A)=0 erfüllt).
JNF: 2 SEHR wertvolle Tipps zur Berechnung:
1) Die Potenz eines Eigenwerts im Mipo ist die Größe des größten Jordanblocks zu diesem Eigenwert.
2) Die Dimension des Eigenraums zu einem Eigenwert ist die Anzahl der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert.
Also bei deinem Beispiel:
Du hast drei paarweise versch. Eigenwerte (wenn es stimmt, habs nicht nachgerechnet), dh. das Mipo zerfällt in paarweise versch. Linearfaktoren, woraus folgt, dass die Matrix sogar diagonalisierbar ist, was dann auch deine JNF ist.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Di 01.05.2007 | | Autor: | sorry_lb |
ach mist, hab ein element der matrix falsch abgeschrieben u jetz war alles hinfällig *g letztendlich wars doch sher trivial, weil als einziger ew dann doch nur 2 rausgekommen is. habs nu hinbekommen. aber danke für die tipps, vor allem bzgl der jordanschen normalform, haben mir ehct weitergeholfen. dankeeee :)
lg
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