Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 So 23.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich hatte die Aufgabe von folgender Matrix die Jordansche Normalform zu berechnen: A= [mm] \pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
Jetzt habe ich das charakteristische Polynom berechnet
X(t)= -1*(2-t)³
Das heißt der Eigenwert ist 2 mit Vielfachheit 3. Der Eigenraum E(A,2) hat die Dimension 1 (geometrische Vielfachheit)
Jetzt heißt es: zu jedem Eigenwert gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke. Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke entspricht seiner algebraischen Vielfachheit. Das würde heißen, dass ich hier einen Jordan-Block mit dim 3 habe. Aber wie sieht so ein Block aus?
Was ist wenn X(t)=(2-t)³(2-t) (3-t) wobei E (A,2)=2 und E (A,3)=1
Dann hätte ich ja für die 2 zwei Jordanblöcke. Teile ich dann die 4 2er Eigenwerte in zwei Blöcke auf?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß Marietta
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Hallo,
zunächst stellst Du fest, daß
[mm]\left( {A\; - \;2\;I} \right)^3 \; = \;0[/mm]
(A - 2I) ist also nilpotent vom Grad 3.
Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu dem dreifachen Eigenwert [mm]\lambda=2[/mm] sind die verallgemeinerten Eigenräume zu berechen.
Es sind also die Kerne von
[mm](A - 2I)[/mm]
und
[mm](A - 2I)^{2}[/mm]
zu berechnen.
Konket sind also die Gleichungen
[mm]\begin{gathered}
(A - 2I)\;e_1 \; = \;0 \\
(A - 2I)^2 \;e_2 \; = \;0 \\
\end{gathered} [/mm]
zu lösen, wobei dann für ein [mm]e_{2}[/mm] gelten muß:
[mm](A - 2I)\;e_{2} \; = \;e_{1}[/mm]
Die Jordansche Normalform zu einer 3x3-Matrix mit 3-fachem Eigenwert kann 3 mögliche Formen haben:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array} } \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array} } \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
\lambda & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 \\
0 & 1 & \lambda \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Marietta,
ich habe das selbst mal nachgerechnet.
Zur Bestimmung der Größe und Anzahl der Jordanblöcke sind zunächst einmal die Ränge von [mm](A-2I)^{k}[/mm] zu berechnen. Hier reicht es schon, wenn man die ersten 3 Ränge berechnet:
[mm]\begin{gathered}
R_0 \left( 2 \right)\; = \;Rg\left( {A - 2I} \right)^0 \; = \;Rg(A)\; = \;3 \hfill \\
R_1 \left( 2 \right)\; = \;Rg\left( {A - 2I} \right)^1 \; = \;2 \hfill \\
R_2 \left( 2 \right)\; = \;Rg\left( {A - 2I} \right)^2 \; = \;1 \hfill \\
R_3 \left( 2 \right)\; = \;Rg\left( {A - 2I} \right)^3 \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die Ränge für k>3 sind alle 0:
Nun gilt für die Anzahl der Jordanblöcke der Größe l folgende Formel:
[mm]N_l \left( \lambda \right)\; = \;R_{l + 1} \; - \;2\;R_l \; + \;R_{l - 1} [/mm]
Hier also:
[mm]\begin{gathered}
N_1 \left( 2 \right)\; = \;R_2 \; - \;2\;R_1 \; + \;R_0 \; = \;1\; - \;2 \times 2\; + \;3\; = \;0 \hfill \\
N_2 \left( 2 \right)\; = \;R_3 \; - \;2\;R_2 \; + \;R_1 \; = \;0\; - \;2 \times 1\; + \;2\; = \;0 \hfill \\
N_3 \left( 2 \right)\; = \;R_4 \; - \;2\;R_3 \; + \;R_2 \; = \;0\; - \;2 \times 0\; + \;1\; = \;1 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Daraus folgt, daß es einen Jordanblock der Größe 3 gibt, und die Jordannormalform der Matrix sieht so aus:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Geht es darum eine Basis zu bestimmen, so wähle ein a für das [mm]T^{2}a \not= 0[/mm], wobei [mm]T= {A - 2I}[/mm].
Ist so ein a gefunden worden, so ist
eine [mm]S=(a,\;Ta,\;T^2 a)[/mm] eine Basis
und es gilt:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{array} } \right)\; = \;S^{ - 1} \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 4 & 3 \\
{ - 1} & 0 & { - 1} \\
1 & 2 & 3 \\
\end{array} } \right)\;S
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Vielen Dank schon einmal für die Antwort.
Habe nur eine Frage noch zu dem letzten Teil wo es um das bestimmen der Basis geht. Gilt die Formel S= (a,Ta,T²a) nur für 3x3 Matrizen bzw. 2x2 oder auch für alle nxn Matrizen?
Überhaupt: gilt die Formel zur Bestimmung der Jordanblöcke für nxn Matrizen oder eingeschränkt auf bestimmte Matrizen?
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 25.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Marietta!
Ja, die Formel zu Berechnung der Anzahl der Jordanblöcke der Größe $l$ gilt immer.
Weiter gilt auch immer folgendes: Hat man einen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] und weiß bereits, dass man einen Jordanblock der Größe $l$ hat und will die zugehörige Basis dieses Unterraums bestimmen, dann wählt man sich ein $a [mm] \in \IK^n$ [/mm] mit
[mm] $T^{l-1}a \ne [/mm] 0$, wobei [mm] $T=A-\lambda [/mm] I$,
und [mm] $\{a,Ta,\ldots,T^{l-1}a\}$
[/mm]
ist eine Jordanbasis. Ist ja auch klar, schließlich ist:
[mm] $A(T^i [/mm] a) = T [mm] (T^i [/mm] a) + [mm] \lambda T^i [/mm] a = [mm] \red{1} \cdot T^{i+1}a [/mm] + [mm] \red{\lambda} \cdot T^i [/mm] a$
für alle [mm] $i=1,\ldots [/mm] l-2$, sowie
[mm] $A(T^{l-1} [/mm] a) = T [mm] (T^{l-1} [/mm] a) + [mm] \lambda T^{l-1} [/mm] a = [mm] \underbrace{T^{l}a}_{=\, 0} [/mm] + [mm] \lambda \cdot T^{l-1} [/mm] a = [mm] \red{\lambda} \cdot T^{l-1}a$.
[/mm]
Hier sieht man sehr schön die Jordanstruktur bezüglich dieser Basis.
Viele Grüße
Julius
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