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| Aufgabe | Sei [mm] P(T)=(T-1)^3* (T+1)^2
[/mm]
Welche Jordansche Normalformen treten bei 5x5-Matrizen mit Einträgen in K auf, deren charakteristisches Polynom P ist. |
Hallo, ich weis leider nicht genau, wie ich bei dieser Aufgabe vorzugehen habe.
Ich glaube man muss die einzelnen Möglichkeiten der Minimalpolynome durchgehen.
Aber wie kann ich von einem Minimalpolynom auf die zugehörige Jordanform schließen?
z.B. m(T)=(T-1)
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]P(T)=(T-1)^3* (T+1)^2[/mm]
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> Welche Jordansche Normalformen treten bei 5x5-Matrizen mit
> Einträgen in K auf, deren charakteristisches Polynom P
> ist.
> Hallo, ich weis leider nicht genau, wie ich bei dieser
> Aufgabe vorzugehen habe.
>
> Ich glaube man muss die einzelnen Möglichkeiten der
> Minimalpolynome durchgehen.
> Aber wie kann ich von einem Minimalpolynom auf die
> zugehörige Jordanform schließen?
> z.B. m(T)=(T-1)
Hallo,
Dein m wäre ganz sicher nicht das Minimalpolynom der Matrix.
Es haben nämlich das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom dieselben Nullstellen.
Also Mimimalpolynom kommen die Polynome [mm] m_{k_1,k_2}=(T-1)^{k_1}* (T+1)^{k_2} [/mm] infrage, wobei [mm] k_1\in {1,2,3\} [/mm] und [mm] k_2\in {1,2\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ja ok, hast recht. Jedoch bleibt die Frage dennoch offen, wie ich vom Minimalpolynom auf die Jordanform schließen kann.
Danke
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> Ja ok, hast recht. Jedoch bleibt die Frage dennoch offen,
> wie ich vom Minimalpolynom auf die Jordanform schließen
> kann.
Hallo,
weißt Du denn, was Dir das charakteristische Polynom über die JNF mitteilt: die Größe der Jordanblöcke zum jeweiligen Eigenwert.
Am Minimalpolynom kannst Du ablesen, wie lang das längste der Kästchen im betreffenden Jordanblock ist.
Gruß v. Angela
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Aha ok,
Dann habe ich 6 möglichkeiten für das Minimalpolynom und diese geben dann eindeutige Jordanformen.
Ich glaube ich habs verstanden. Aber geht das immer so?
Oder nur in diesem Fall?
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> Dann habe ich 6 möglichkeiten für das Minimalpolynom und
> diese geben dann eindeutige Jordanformen.
Hallo,
genau.
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> Ich glaube ich habs verstanden. Aber geht das immer so?
> Oder nur in diesem Fall?
Nö, das geht immer so.
Je mehr Eigenwerte in hoher Vielfachheit vorkommen, desto üppiger wird natürlich die Anzahl der Möglichkeiten.
Aber normalerweise wird man nur zu "kleinen" Fällen befragt.
[In diesem Zusammenhang noch gut zu wissen:
kennt man die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes, also die Dimension seines Eigenraumes, so weiß man, wieviele Kästchen im Block sind.]
Gruß v. Angela
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