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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Di 01.02.2011 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | [mm] A:=\pmat{ 0 & 4 \\ -1 & 4 } \in Mat(2x2,\IC) [/mm] Bestimmen Sie ein Matrix S [mm] \in GL_2(\IC), [/mm] so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Jordansche Normalform hat. Berechnen Sie außerdem [mm] S^{-1} [/mm] |
Ich habe kein Problem damit die Jordan Normalform aufzustellen. Man erhält als einzige Eigenwerte von A die 2. Außerdem erfährt man über das Minimalpolynom, dass der größte Block die Länge 2 hat => [mm] J=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich auf die Transformationsmatrix S komme.
Vielleich kann mir ja einer von euch weiterhelfen.
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Hallo xtraxtra,
> [mm]A:=\pmat{ 0 & 4 \\ -1 & 4 } \in Mat(2x2,\IC)[/mm] Bestimmen Sie
> ein Matrix S [mm]\in GL_2(\IC),[/mm] so dass [mm]S^{-1}AS[/mm] eine
> Jordansche Normalform hat. Berechnen Sie außerdem [mm]S^{-1}[/mm]
> Ich habe kein Problem damit die Jordan Normalform
> aufzustellen. Man erhält als einzige Eigenwerte von A die
> 2. Außerdem erfährt man über das Minimalpolynom, dass
> der größte Block die Länge 2 hat => [mm]J=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich auf die
> Transformationsmatrix S komme.
> Vielleich kann mir ja einer von euch weiterhelfen.
Eigenvektoren bestimmst Du aus der Gleichung
[mm]\left(A-2*E\right)*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix in [mm]Mat(2x2,\IC)[/mm] und
[mm]\vec{v}[/mm] ist der Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Sollte hier nur ein Eigenvektor ermittelt werden können,
so kann aus der Gleichung
[mm]\left(A-2*E\right)^{2}*\vec{w}=\vec{0}[/mm]
ein zweiter Eigenvektor w ermittelt werden.
w wird auch Eigenvektor 2. Stufe genannt.
Dieser Vektor w darf nicht die Gleichung
[mm]\left(A-2*E\right)*\vec{w}=\vec{0}[/mm]
erfüllen.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:04 Di 01.02.2011 | | Autor: | xtraxtra |
Es mag sein, dass ich mich irre. Aber die Eigenvektoren bringen mir doch hier nichts.
Denn die es gilt doch [mm] J=S^{-1}DS [/mm] mit den Eigenvektoren als Spalten von S und den Eigenwerten als Diagonalelemte von D.
Dann kann doch unmöglich auch J= [mm] J=S^{-1}AS [/mm] mit den gleichen Einträgen in S gelten.
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> [mm]A:=\pmat{ 0 & 4 \\
-1 & 4 } \in Mat(2x2,\IC)[/mm] Bestimmen Sie
> ein Matrix S [mm]\in GL_2(\IC),[/mm] so dass [mm]S^{-1}AS[/mm] eine
> Jordansche Normalform hat. Berechnen Sie außerdem [mm]S^{-1}[/mm]
> Ich habe kein Problem damit die Jordan Normalform
> aufzustellen. Man erhält als einzige Eigenwerte von A die
> 2. Außerdem erfährt man über das Minimalpolynom, dass
> der größte Block die Länge 2 hat => [mm]J=\pmat{ 2 & 1 \\
0 & 2 }[/mm]
>
> Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich auf die
> Transformationsmatrix S komme.
Hallo,
Du suchst ja jetzt eine Basis B, bzgl derer J die Darstellungmatrix der bzgl. der Standardbasis durch A dargestellten Abbildung f ist.
Sei [mm] B:=(b_1, b_2) [/mm] solch eine Basis.
Lösungsmöglichkeit:
Aus der Matrix J erfährst Du :
[mm] f(b_1)=2b_1
[/mm]
[mm] f(b_2)= b_1+2b_2.
[/mm]
An der ersten Gleichung sieht man:
es muß [mm] b_1 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 sei.
Es ist also unumgänglich, hier mit dem Eigenvektor zu arbeiten.
Du kannst wählen [mm] b_1:=\vektor{2\\1}.
[/mm]
Einem möglichen Vektor [mm] b_2:=\vektor{b_2_1\\b_2_2} [/mm] könntest Du nun mithilfe der zweiten Gleichung durch Lösung eines LGS auf die Spur kommen:
[mm] f(b_2)= A*\vektor{b_2_1\\b_2_2}=\vektor{2\\1} [/mm] + [mm] 2*\vektor{b_2_1\\b_2_2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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