Jordansche Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 01.02.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=jordan9ff28.jpg |
Und zwar verstehe ich leider nicht, wie ich an so eine Aufgabe rangehe, habe bereits den Eigenwert berechnet, aber wie geht es weiter? Habe also Eigenwert:
[mm] (1-\lambda)^3=0
[/mm]
Also wäre [mm] \lambda=1 [/mm] bzw. noch zwei weitere komplexe Zahlen, nur wie bestimme ich die?
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moin hubbel,
Zu erst einmal ist das charakteristische Polynom immer normiert, also:
[mm] $(\lambda [/mm] - [mm] 1)^3 [/mm] = 0$
Ist in diesem Fall nicht schlimm, aber für andere Dinge (zB Spur ablesen, etc.) ist es doch recht sinnvoll.
Dann zu den Eigenwerten:
Du hast hier nur einen Eigenwert, die 1.
Somit gibt es erst einmal drei Möglichkeiten für das Minimalpolynom (welche?).
Jedes dieser drei Minimalpolynome gibt dir eine andere Jordanform; zu welchem der drei gehört die hier vorliegende Jordanform?
Wenn du diese Fragen geklärt hast musst du also einzig noch dein [mm] $\omega$ [/mm] so bestimmen, dass die Matrix das gewünschte Minimalpolynom hat.
Falls du mit dem Minimalpolynom oder dem Zusammenhang zur Jordanform noch nicht so viel anfangen kannst erzähl doch mal was du bereits kennst, was du bereits weißt und wo genau es noch hapert.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 01.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Um ehrlich zu sein, hapert es überall, unser Skript versteh ich in dem Thema nicht wirklich. Was ich weiß ist, dass es Jordanblöcke gibt, die abhängig sind von der Anzahl der Eigenwerte. Weiter gibt es Jordankästchen, aber da hört es schon auf, kannst du mir vielleich eine Seite empfehlen, wo das schön mit Beispielen erklärt wird?
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Wenn du üben willst sind hier einige Aufgaben zu finden:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/J/jordan.html
Allerdings ist dort keine Erklärung dabei, weswegen das mit dem lernen und erarbeiten etwas problematisch werden könnte.
Allerdings kriegen wir alles, was für diese Aufgabe benötigt wird, auch noch (mehr oder minder^^) von Hand hin.
Du weißt, was das Minimalpolynom ist?
Das Minimalpolynom einer Matrix ist das normierte Polynom kleinsten Grades, sodass die Matrix eingesetzt in dieses Polynom 0 ergibt.
Wie du hoffentlich weißt (Hamilton-Cayley) ergibt eine Matrix eingesetzt in ihr charakteristisches Polynom immer 0.
Somit muss das Minimalpolynom ein Teiler des char. Pol. sein.
Da auf der anderen Seite das char. Pol. eine Potenz des Minimalpolynoms teilen muss (Beweis hattet/kriegt ihr vielleicht in der Vorlesung), haben diese beiden also die selben Primfaktoren (Achtung: Primfaktoren sind hier im Polynomring über [mm] $\IC$ [/mm] gesucht, also die Primfaktoren hier sind gerade Polynome vom Grad 1; nicht verwechseln mit Primzahlen in [mm] $\IZ$).
[/mm]
Das Minimalpolynom kann also nur folgende Formen haben:
[mm] $\mu_1 [/mm] = (x-1)$
[mm] $\mu_2 [/mm] = [mm] (x-1)^2$
[/mm]
[mm] $\mu_3 [/mm] = [mm] (x-1)^3$
[/mm]
Nun haben ähnliche Matrizen (also Matrizen, die wie in deiner Aufgabenstellung mithilfe einer Matrix $T$ ineinander überführt werden können) das selbe Minimalpolynom.
Wenn du das noch nicht weißt setze einfach mal [mm] $T^{-1}AT$ [/mm] in ein Polynom ein und staune, dass du da [mm] $T^{-1}$ [/mm] und $T$ ausklammern kannst (Achtung: Matrixprodukt ist nicht kommutativ, also das eine nach links, das andere nach rechts ausklammern).
Somit ist der nächste Schritt, das Minimalpolynom der gegebenen Jordanform zu bestimmen.
Hierfür gibt es einige Tricks, die ihr sicher noch lernen werdet oder die du dir aneignen solltest, falls sie schon dran waren und du sie nicht verstanden hast.
Für diesen speziellen Fall reicht aber einfaches Einsetzen:
$(J-1)$ ist offensichtlich nicht die Nullmatrix, [mm] $(J-1)^2$ [/mm] hingegen schon.
Somit ist das Minimalpolynom von $J$ gerade [mm] $(x-1)^2$.
[/mm]
Also muss das Minimalpolynom von $A$ ebenfalls [mm] $(x-1)^2$ [/mm] sein, also du musst [mm] $\omega$ [/mm] so bestimmen, dass $(A-1) [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $(A-1)^2 [/mm] = 0$.
Dass die Matrix $A$, wenn sie dieses Minimalpolynom hat, auch wirklich ähnlich zu $J$ ist glaubst du mir am besten mal, dafür braucht man noch ein paar Beweise über den Zusammenhang von Jordanform und Minimalpolynom, die du sicher irgendwo in deinem Skript findest.
Ansonsten würde ich dir raten dich mal mit Kommilitonen in Verbinung zu setzen, es gibt sicher welche die das Thema (halbwegs^^) verstanden haben und dich gern mal in ihre Unterlagen schauen lassen oder dir ein wenig helfen.
Davon abgesehen: Habt ihr Kleingruppen-Übungen in dem Fach?
Der eine oder andere motivierte Tutor ist sicher bereit ein paar Sätze zu dem Thema zu sagen, wenn man ihn nur lieb fragt.
Und selbst wenn nicht kann das ggf. auch mal in einer Globalübung angesprochen werden, ob vielleicht etwas dazu erzählt werden könnte, vor allem falls viele damit Probleme haben sollten.
(Nur in der Vorlesung selbst könnte das problematisch sein, weil die meist einen recht straffen Zeitplan haben).
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 01.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Wäre das Minimalpolynom nicht einfach [mm] 1-\lambda?
[/mm]
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Hallo hubbel,
> Wäre das Minimalpolynom nicht einfach [mm]1-\lambda?[/mm]
Nein, das Minimalpolynom ist doch abhängig von [mm]\omega[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 01.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Wieso ist das davon abhängig? Beim Eigenwert berechnen bzw. beim CharPoly berechnen fällt das w doch weg. (Ich nenne es mal w)
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Wie gesagt, das Minimalpolynom ist das Polynom kleinsten Grades, sodass die Matrix eingesetzt in dieses Null ergibt.
Das kannst du (anders als das charakteristische) nicht so leicht ablesen sondern musst ein wenig basteln.
Betrachte dir dafür nochmal die Jordanform $J$.
Diese hat zwar charakteristisches Polynom [mm] $(x-1)^3$, [/mm] aber Minimalpolynom [mm] $(x-1)^2$ [/mm] (siehst du durch Einsetzen).
Wäre nun die 1 unterhalb der Hauptdiagonalen nicht mehr da, $J$ also eine Diagonalmatrix, dann hätte sie immer noch charakteristisches Polynom [mm] $(x-1)^3$, [/mm] aber Minimalpolynom $(x-1)$.
Es kann also durchaus sein, dass zwei Matrizen das selbe charakteristische Polynom aber verschiedene Minimalpolynome haben.
Deshalb musst du eben einsetzen und gucken, wann Null rauskommt.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:08 Do 02.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich muss das für dieses w einsetzen, verstehe ich das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 04.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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