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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 03.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden kompelxen quadratischen Matrizen
[mm] B=\pmat{3 &2\\-2&7} C=\pmat{1&3&0&0\\0&1&3&0\\0&0&2&3\\0&0&0&2} D=\pmat{0&1&0&0\\0&1&-1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&-1} [/mm] |
Hallo,
das ist unsere erste Aufgabe zu JNF und ich bin einwenig verwirrt :-S
auf dem Lösungsblatt steht nur das Ergebniss [mm] \pmat{5&1\\0&5} [/mm] und das B nicht diag. ist.
ich habe als erstes das char. Polynom berechnet: [mm] (\lambda-5)^2
[/mm]
5 ist der einzige Eigenwert mit der alg. Vielfachheit 1. Die alg. Vielf. gibt mir jedoch keine Aussage über meine JNF oder?
Um rauszufinden wieviele Jordanblöcke ich habe, berechne ich die geo. Vielfachheit.
[mm] ker(B-5E)=\pmat{-2&-2\\2&2}=\IR\vektor{1\\1} [/mm] geom. Vielfachheit =1
d.h. ich habe nur einen Jordanblock. (Zwischenfrage: in der Lösung steht nicht diag. Jedoch ist die alg. Vielf.=geo. Vielf. folgt hieraus nicht, dass es diag. sein muss?)
Nun Minimalpolynom für die Maximale grösse eines Jordanblocks:
für [mm] (B-5E)\not=0 [/mm]
für [mm] (B-5E)^2=0 [/mm] also hat das Jordanblock die Maximale grösse 2.
Woher weiss ich jetzt aber, ob es 1 oder zwei ist?
Könnte meine JNF nicht auch einfach (5) sein?
Über eine Antwort waere ich sehr glücklich.
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Hallo Laura87,
> Berechnen Sie die folgenden kompelxen quadratischen
> Matrizen
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> [mm]B=\pmat{3 &2\\-2&7} C=\pmat{1&3&0&0\\0&1&3&0\\0&0&2&3\\0&0&0&2} D=\pmat{0&1&0&0\\0&1&-1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&-1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> das ist unsere erste Aufgabe zu JNF und ich bin einwenig
> verwirrt :-S
>
> auf dem Lösungsblatt steht nur das Ergebniss
> [mm]\pmat{5&1\\0&5}[/mm] und das B nicht diag. ist.
>
> ich habe als erstes das char. Polynom berechnet:
> [mm](\lambda-5)^2[/mm]
>
> 5 ist der einzige Eigenwert mit der alg. Vielfachheit 1.
> Die alg. Vielf. gibt mir jedoch keine Aussage über meine
> JNF oder?
Ja.
>
>
> Um rauszufinden wieviele Jordanblöcke ich habe, berechne
> ich die geo. Vielfachheit.
>
> [mm]ker(B-5E)=\pmat{-2&-2\\2&2}=\IR\vektor{1\\1}[/mm] geom.
> Vielfachheit =1
>
> d.h. ich habe nur einen Jordanblock. (Zwischenfrage: in der
> Lösung steht nicht diag. Jedoch ist die alg. Vielf.=geo.
> Vielf. folgt hieraus nicht, dass es diag. sein muss?)
>
Die algebraische Vielfachheit ist hier nicht der geometrischen Vielfachheit.
Um diagonalisierbar zu sein, müssen die algebraische Vielfachheit
und die geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert gleich sein.
> Nun Minimalpolynom für die Maximale grösse eines
> Jordanblocks:
>
> für [mm](B-5E)\not=0[/mm]
>
> für [mm](B-5E)^2=0[/mm] also hat das Jordanblock die Maximale
> grösse 2.
>
Du hast jetzt einen Jordanblock der Größe 2.
> Woher weiss ich jetzt aber, ob es 1 oder zwei ist?
>
> Könnte meine JNF nicht auch einfach (5) sein?
>
Die JNF sieht dann, bis auf Vertauschung der Spalten, so aus:
[mm]\pmat{5 & 1 \\ 0 & 5}[/mm]
> Über eine Antwort waere ich sehr glücklich.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 03.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hey,
vielen dank für die super schnelle Antwort. Habe aber noch eine Frage:
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> Die algebraische Vielfachheit ist hier nicht der
> geometrischen Vielfachheit.
>
> Um diagonalisierbar zu sein, müssen die algebraische
> Vielfachheit
> und die geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert
> gleich sein.
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Ich versteh nicht, warum dies hier nicht der Fall ist. İch habe einen EW 5 mit der alg. Vielf. 1 und die geo. Vielfachheit zum EW 5 ist doch auch 1. Wo ist hier mein Denkfehler?
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Hallo Laura87,
> Hey,
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> vielen dank für die super schnelle Antwort. Habe aber noch
> eine Frage:
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> > Die algebraische Vielfachheit ist hier nicht der
> > geometrischen Vielfachheit.
> >
> > Um diagonalisierbar zu sein, müssen die algebraische
> > Vielfachheit
> > und die geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert
> > gleich sein.
> >
> >
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> Ich versteh nicht, warum dies hier nicht der Fall ist. İch
> habe einen EW 5 mit der alg. Vielf. 1 und die geo.
> Vielfachheit zum EW 5 ist doch auch 1. Wo ist hier mein
> Denkfehler?
Das charakteristische Polynom lautet doch:[mm]\left(\lambda-5\right)^{2}[/mm]
Demnach ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 5 gleich 2.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 03.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Das war dumm von mir  danke für den Hinweis!
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