K-Vektorräume und Quo'körper < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A5.) $(K, +, [mm] \cdot)$ [/mm] ist ein Schiefkörper und $F$ ein Teilring mit [mm] $\forall [/mm] k [mm] \in F\backslash\{0\}\exists [/mm] k' [mm] \in [/mm] F: k'k = 1$. Zeigen Sie.
a.) $(F, +, [mm] \cdot)$ [/mm] ist ein Schiefkörper
b.) $(K, +)$ ist ein $F$-VR bzgl. einer geeigneten skalaren Multiplikation.
A7a) Geben Sie einen Teilkörper von [mm] $\IC$ [/mm] an, der isomorph zum Quotientenkörper vom Ring [mm] $\IZ [/mm] + [mm] i\IZ [/mm] := [mm] \{z_1+iz_2|z_1,z_2 \in \IZ\} \subseteq \IC$ [/mm] ist.
b.) Sei $R$ ein Teilring von [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $\IZ \subseteq [/mm] R$. Bestimmen Sie den Quotientenkörper von $Q(R)$ bis auf Isomorphie. |
Hallo zusammen,
neue Woche neues Glück und Aufgaben, aber diesmal eher "Absicherungsfragen" :)
zu A5a.) Da wir wissen, dass $F$ ein Teilring von $K$ ist, ist es laut Skript insbesondere ein Ring bezüglich der induzierten Verknüpfungen aus $K$. Um somit zu belegen, dass $F$ ein Schiefkörper muss noch gezeigt werden, dass [mm] $(F\backslash\{0\}, \cdot)$ [/mm] eine Gruppe ist.
Assoziativität der Multiplikation folgt aus den Ringeigenschaften. Das Neutralelement $1$ ist eindeutig definiert nach Voraussetzung und liegt in $F$. Sei also $f [mm] \in [/mm] F$, so gilt: $f [mm] \cdot [/mm] 1 = f$. Das inverse Element $k'$ zu einem $k [mm] \in F\backslash\{0\}$ [/mm] existiert ebenfalls nach Voraussetzung, da [mm] $\forall [/mm] k [mm] \in F\backslash\{0\}\exists [/mm] k' [mm] \in [/mm] F: k'k = 1$. Somit ist $(F, +, [mm] \cdot)$ [/mm] ein Schiefkörper.
b.) Wir wissen, dass $F$ ein Teilring von $K$ ist und da auch eine wechselseitige Beziehung zwischen beiden besteht müsste $K$ als Untergruppe zu $F$ zusammen mit der aus $F$ induzierten Multiplikation einen $F-Vektorraum$ bilden.
-> hier bin ich mir unsicher, denn in der Mathematik liegt in der Kürze nicht die Würze, wie ich oft genug gesehen habe :D
zu A7a.) Hier fällt so ein bisschen der Ansatz, ich meine ich müsste einen Teilkörper von [mm] $\IC$ [/mm] um die rationalen Zahlen konstruieren, da hier Isomorphie zu einem Quotientenkörper recht schnell folgt.
b.) Ich brauche also einen Teilring der rationalen Zahlen, der eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist, also müsste ich im Grunde mit einer Einschränkung der rationalen Zahlen fungieren, da ich alle [mm] $\frac{z_1}{1} \in \IQ$ [/mm] mit Elementen in [mm] $\IZ$ [/mm] identifizieren kann, aber ich glaube nicht, dass dies der Ansatz ist.
Ich entschuldige mich für die fehlende Ausführlichkeit der Ansätze, aber es ist ja schon recht spät und außerdem erwarte ich nur Hinweise oder Tipps. Auch Verweise zu Kapiteln in passender Literatur werden gerne gesehen :)
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 13.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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